東京都立大学(理系) 2026年　問題3


$a\ を \ 0 < a < 1 \ をみたす実数とする。O(0,\ 0,\ 0)\ を原点とする座標空間内の \ 3\ 点 \ A(2a,\ 0,\ -1),$
$B(-a,\ \sqrt{3}a,\ -1),\ C(-a,\ -\sqrt{3}a,\ -1) \ を考える。さらに、3\ 点 \ A,\ B,\ Cの定める平面上にない点$
$D(x,\ y,\ z)\ を考える。四面体 \ ABCD\ の重心 \ G\ とは、\vec{OG}=\dfrac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}}{4} \ \ により定まる点である。$
$以下の問いに答えなさい。$
$(1)\ \ \triangle ABC \ の \ 3\ 辺 \ AB,\ AC,\ BC\ の長さをそれぞれ \ a\ を用いて表しなさい。$
$(2)\ \ 四面体 \ ABCD \ の重心が \ G(0,\ 0,\ -a)\ のとき、四面体 \ ABCD\ の体積 \ V(a)\ を \ a\ を用いて表しなさい。$
$(3)\ \ a\ が \ 0 < a < 1\ の範囲を動くとき、(2)の \ V(a)\ が最大となる \ a\ の値を求め、そのときの \ V(a)\ の値を$
$\quad 求めなさい。$


(1)

　

$AB^2=(-a-2a)^2+(\sqrt{3}a)^2+(-1+1)^2=9a^2+3a^2=12a^2$

$AB=2\sqrt{3}a$

$AC^2=(-a-2a)^2+(-\sqrt{3}a)^2+(-1+1)^2=9a^2+3a^2=12a^2$

$AC=2\sqrt{3}a$

$BC^2=(-a+a)^2+(-\sqrt{3}a-\sqrt{3}a)^2+(-1+1)^2=(-2\sqrt{3}a)^2=12a^2$

$BC=2\sqrt{3}a$


(2)


\begin{eqnarray*} \vec{OG} &=&\dfrac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}}{4}\\ \\ &=&\dfrac{1}{4}\big((2a,\ 0,\ -1) + (-a,\ \sqrt{3}a,\ -1)+(-a,\ -\sqrt{3}a,\ -1)+(x,y,z)\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{4}(x,\ y,\ z-3) \end{eqnarray*} $\vec{OG}=(0,\ 0,\ -a)\ \ より \quad x=0,\ \ y=0,\ \ \dfrac{z-3}{4}=-a \qquad z=3-4a \quad よって \quad D(0,\ 0,\ 3-4a)$

$3\ 点 \ A,\ B,\ C\ の \ z\ 座標がすべて \ -1\ だから、3\ 点 \ A,\ B,\ C\ を通る平面の方程式は \quad z=-1$

$したがって\ \ 点 \ D(0,\ 0,\ 3-4a)\ \ から \ \ \triangle ABC \ \ に下ろした垂線の長さ \ h\ は \quad h=z+1=(3-4a)+1=4(1-a)$

$\triangle ABC \ は一辺 \ \ 2\sqrt{3}a\ \ の正三角形だから$

$\triangle ABC=\dfrac{1}{2}(2\sqrt{3}a)^2 \times \sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} \times 12a^2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}a^2$

$よって \quad V(a)=\dfrac{1}{3}\triangle ABC \times h=\dfrac{1}{3} \times 3\sqrt{3}a^2 \times 4(1-a)=4\sqrt{3}a^2(1-a)$


(3)


$(2)より　V(a)=4\sqrt{3}a^2(1-a)=4\sqrt{3}(a^2-a^3)　だから$

$V'(a)=4\sqrt{3}(2a-3a^2)=-4\sqrt{3}a(3a-2)$

$V'(a)=0 \ \ より \quad a=\dfrac{2}{3}$

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} a & 0 & \cdots & \dfrac{2}{3} & \cdots & 1\\ \hline V'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline V(a) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \] $V(a)\ は \ \ a=\dfrac{2}{3}\ \ のとき極大かつ最大となり、最大値は$

$V(\dfrac{2}{3})=4\sqrt{3} \times (\dfrac{2}{3})^2 \times (1-\dfrac{2}{3})=\dfrac{16\sqrt{3}}{27}$

$なお、右図は\ V(a)\ のグラフである。$


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