東京都立大学(理系) 2026年　問題2


\[自然数 \ n\ に対し、I_n=\int_0^1 \dfrac{x^n(1-x)}{x+1} dx , \ \ S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{(k+1)(k+2)} \ \ とおく。以下の問いに答えなさい。\] $(1)\ \ I_1 \ の値を求めなさい。$
$(2)\ \ I_n + I_{n+1}\ \ を \ n\ を用いて表しなさい。$
$(3)\ \ 自然数 \ n\ に対し、等式 \ \ S_n=I_1+(-1)^{n-1} I_{n+1} \ \ が成り立つことを示しなさい。$
\[(4)\ \ 極限値 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} S_n \ \ を求めなさい。\]


(1)


\begin{eqnarray*} I_1 &=&\int_0^1 \dfrac{x(1-x)}{x+1} dx\\ \\ &=&-\int_0^1 \dfrac{x^2-x}{x+1} dx\\ \\ &=&-\int_0^1 \big(x-2+\dfrac{2}{x+1}\big) dx\\ \\ &=&-\big[\dfrac{x^2}{2}-2x+2\log(x+1)\big]_0^1\\ \\ &=&\dfrac{3}{2}-2\log 2 \end{eqnarray*}

(2)


\begin{eqnarray*} & &I_n +I_{n+1}\\ \\ &=&\int_0^1 \dfrac{x^n(1-x)}{x+1} dx + \int_0^1 \dfrac{x^{n+1}(1-x)}{x+1} dx\\ \\ &=&\int_0^1 \dfrac{x^n -x^{n+2}}{x+1} dx\\ \\ &=&\int_0^1 \dfrac{x^n(1 -x^2)}{x+1} dx\\ \\ &=&\int_0^1 x^n(1 -x) dx\\ \\ &=&\int_0^1 (x^n -x^{n+1}) dx\\ \\ &=&\big[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}-\dfrac{x^{n+2}}{n+2}\big]_0^1\\ \\ &=&\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\\ \\ &=&\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\ \end{eqnarray*}

(3)


$(2) より \quad \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}=I_k +I_{k+1} \ \ だから$

\begin{eqnarray*} S_n &=&\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{(k+1)(k+2)}\\ \\ &=&\sum_{k=1}^n \big((-1)^{k-1}I_k +(-1)^{k-1}I_{k+1}\big)\\ \\ &=&(I_1+I_2)+(-I_2-I_3)+(I_3+I_4)+\cdots +\big((-1)^{n-1}I_n +(-1)^{n-1}I_{n+1}\big)\\ \\ &=&I_1 + (-1)^{n-1}I_{n+1}\\ \end{eqnarray*}

(4)


$f(x)=\dfrac{x^n(1-x)}{x+1} \ \ ( 0 \leqq x \leqq 1)\ \ とおくと$

$f'(x)=\dfrac{nx^{n-1}(1-x)-x^n}{(x+1)^2}=-\dfrac{x^{n-1}\big((n+1)x-n\big)}{(x+1)^2}$

$f'(x)=0 \ \ より \quad x=\dfrac{n}{n+1}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \dfrac{n}{n+1} & \cdots & 1\\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline g(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \]

　

$x=\cfrac{n}{n+1}\ で \ f(x)\ は極大かつ最大となり、最大値は$

$f(\dfrac{n}{n+1})=\dfrac{\big(\dfrac{n}{n+1}\big)^n\big(1- \dfrac{n}{n+1}\big)}{\dfrac{n}{n+1}+1}=\dfrac{1}{2n+1}\big(\dfrac{n}{n+1}\big)^n$

$f(0)=0,\quad f(1)=0 \ \ だから \quad 0 \leqq f(x) \leqq \dfrac{1}{2n+1}\big(\dfrac{n}{n+1}\big)^n$

$よって $

\[|I_n|=\big|\int_0^1 f(x)dx\big|\leqq \int_0^1 |f(x)| dx \leqq \int_0^1 \dfrac{1}{2n+1}\big(\dfrac{n}{n+1}\big)^n dx = \dfrac{1}{2n+1}\big(\dfrac{n}{n+1}\big)^n \] $n \longrightarrow \infty \ \ のとき \quad \dfrac{1}{2n+1}\big(\dfrac{n}{n+1}\big)^n \longrightarrow 0 \ \ だから \quad I_n \longrightarrow 0$

$(3)より$
\[\lim_{n \rightarrow \infty} S_n =\lim_{n \rightarrow \infty} \big(I_1 + (-1)^{n-1}I_{n+1}\big)=I_1=\dfrac{3}{2}-2\log 2\]

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