東京都立大学(理系) 2026年　問題1


$\log \ を自然対数とする。以下の問いに答えなさい。$
\[(1)\ \ x > 0\ の範囲で不等式 \ \ \log x > -\dfrac{1}{\sqrt{x}} \ \ が成り立つことを用いて、等式 \ \ \lim_{x \rightarrow +0} x\log x =0 \ \ が成り立つことを\] $\quad 示しなさい。$
$(2)\ \ 関数 \ \ f(x)=x\log x -x \ \ (x > 0)\ \ の増減を調べ、y=f(x)\ のグラフの概形を描きなさい。$
$\quad ただし、変曲点は調べなくてよい。$
$(3)\ \ a\ を \ a > 0 \ をみたす実数とする。x > 0\ の範囲で \ x\ の方程式 \ \ x^x=ae^x \ \ を考える。この方程式が異なる$
$\quad \ 2\ つの正の実数解を持つような \ a\ の値の範囲を求めなさい。$


(1)


$\log x > -\dfrac{1}{\sqrt{x}} \ \ (x > 0)\ \ の証明\ \ (これは証明しなくてもよいのかな)$

$g(x)=\log x +\dfrac{1}{\sqrt{x}} \ \ とおくと$

$g'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{2x\sqrt{x}}$

$g'(x)=0 \ \ より \quad \sqrt{x}=\dfrac{1}{2} \qquad x=\dfrac{1}{4}$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \dfrac{1}{4} & \cdots \\ \hline g'(x) & & - & 0 & + \\ \hline g(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$x=\cfrac{1}{4}\ で \ g(x)\ は極小かつ最小となり、最小値は$

$g(\dfrac{1}{4})=\log \dfrac{1}{4} +\sqrt{4}=-\log 4+2=2(1-\log 2)=2(\log e -\log 2)>0$

$よって \quad g(x) > 0$

$ x \longrightarrow +0 \ \ とするから \quad 　0 < x < 1 \ \ と考えてよい。$

$\log x > -\dfrac{1}{\sqrt{x}} \ \ において \quad \log x < 0 \ \ だから \quad 0 < (-\log x) < \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$両辺に \ x\ をかけて \quad 0 < x(-\log x) < \sqrt{x}$

$\therefore \ \ -\sqrt{x} < x\log x < 0$

$ x \longrightarrow +0 \ \ とすると \quad \sqrt{x} \longrightarrow 0 \quad だから はさみうちの原理により \quad x\log x \longrightarrow 0$


(2)


$f(x)=x\log x-x \ \ より \quad f'(x)=\log x +1-1=\log x$

$f'(x)=0 \ \ より \quad x=1$

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$x=1\ で\ f(x)\ は極小かつ最小となり、最小値は \quad f(1)=\log 1-1=-1$

$x \longrightarrow \infty \ \ のとき \quad f(x)=x(\log x -1)\ \ で$

$ x > e \ \ だから \ \ \log x > 1 \ \ よって \quad f(x) \longrightarrow \infty$

$(1) より \quad x \longrightarrow +0 \ \ のとき \quad x\log x -x \longrightarrow 0$

$x\ 軸を切る点の座標は \ \ x(\log x -1)=0\ \ より \quad \log x=1 \qquad x=e$

$グラフは右図のとおり$


(3)


$x^x=a e^x \hspace{5em}①$

$この両辺の対数をとって$

$x\log x=\log a + x$

$x\log x -x=\log a$

　

$①の実数解は \ \ y=x\log x -x \ \ と \ \ y=\log a\ \ (定数関数) \ \ のグラフの$

$共有点の \ x\ 座標だから、x\ 座標が正である共有点が2 \ つあれば$

$異なる \ 2\ つの正の実数解もつ。そのような範囲は右図から$

$-1 < \log a < 0　\ \ だから \quad e^{-1} < a < e^0$

$\therefore \ \ \dfrac{1}{e} < a < 1$


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