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東京都立大学(理系) 2024年　問題2

$四面体 \ OABC\ において、O\ から平面 \ ABC に垂線 \ OP\ を引く。\vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b},\ \ \vec{OC}=\vec{c}\ \ とおく。$
$|\vec{a}|=2,\ \ |\vec{b}|=3,\ \ |\vec{c}|=4,\ \ \vec{a}\cdot \vec{b}=-1,\ \ \vec{b}\cdot \vec{c}=-4,\ \ \vec{c}\cdot \vec{a}=1\ \ が成り立つとき、以下の問いに答えなさい。$
$(1)\ \ ベクトル \ \vec{OP}\ \ を \ \ \vec{a},\ \ \vec{b},\ \ \vec{c}\ \ を用いて表しなさい。$
$(2)\ \ ベクトル \ \vec{OP} \ \ の大きさを求めなさい。$

(1)

　
$点 \ P\ は平面 \ ABC\ 上にあるから$

$\vec{AP}=p\vec{AB}+q\vec{AC}\ \ (p,\ q \ は実数)\ \ とおける。$

$\vec{OP}-\vec{OA}=p(\vec{OB}-\vec{OA})+q(\vec{OC}-\vec{OA})$

$\vec{OP}=(1-p-q)\vec{OA}+p\vec{OB}+ q\vec{OC}=(1-p-q)\vec{a}+p\vec{b}+q\vec{c}$
\begin{eqnarray*} \vec{OP}\cdot \vec{a} &=&\big((1-p-q)\vec{a}+p\vec{b}+ q\vec{c}\big) \cdot \vec{a}\\ \\ &=&(1-p-q)\vec{a} \cdot \vec{a}+ p\vec{b} \cdot \vec{a} + q\vec{c} \cdot \vec{a}\\ \\ &=&(1-p-q) \times 4 + p \times (-1) + q \times 1\\ \\ &=&4-5p-3q \hspace{5em}① \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \vec{OP}\cdot \vec{b} &=&\big((1-p-q)\vec{a}+p\vec{b}+ q\vec{c}\big) \cdot \vec{b}\\ \\ &=&(1-p-q)\vec{a} \cdot \vec{b}+ p\vec{b} \cdot \vec{b} + q\vec{c} \cdot \vec{b}\\ \\ &=&(1-p-q) \times (-1) + p \times 9 + q \times (-4)\\ \\ &=&-1+10p-3q \hspace{5em}② \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \vec{OP}\cdot \vec{c} &=&\big((1-p-q)\vec{a}+p\vec{b}+ q\vec{c}\big) \cdot \vec{c}\\ \\ &=&(1-p-q)\vec{a} \cdot \vec{c}+ p\vec{b} \cdot \vec{c} + q\vec{c} \cdot \vec{c}\\ \\ &=&(1-p-q) \times 1 + p \times (-4) + q \times 16\\ \\ &=&1-5p+15q　\hspace{5em}③ \end{eqnarray*}
$OP \perp 平面 \ ABC \quad より$

(i)$\ \ \vec{OP} \perp \vec{AB}$

$\quad \vec{OP} \cdot \vec{AB}=0$

$\quad \vec{OP} \cdot (\vec{b}-\vec{a})=0$

$\quad \vec{OP} \cdot \vec{b}=\vec{OP} \cdot \vec{a}$

(ii)$\ \ \vec{OP} \perp \vec{AC}$

$\quad \vec{OP} \cdot \vec{AC}=0$

$\quad \vec{OP} \cdot (\vec{c}-\vec{a})=0$

$\quad \vec{OP} \cdot \vec{c}=\vec{OP} \cdot \vec{a}$

(i)(ii)$\ \ より \quad \vec{OP} \cdot \vec{a}=\vec{OP} \cdot \vec{b}=\vec{OP} \cdot \vec{c}$

$①=②\ \ より$

$4-5p-3q =-1+10p-3q $

$15p=5 \qquad \therefore \ \ p=\cfrac{1}{3}$

$②=③\ \ より$

$-1+10p-3q=1-5p+15q$

$18q=15p-2=5-2=3 \qquad \therefore \ \ q=\cfrac{1}{6}$

$よって$

$\vec{OP}=(1-\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{6})\vec{a}+\cfrac{1}{3}\vec{b}+\cfrac{1}{6}\vec{c}=\cfrac{1}{2}\vec{a}+\cfrac{1}{3}\vec{b}+\cfrac{1}{6}\vec{c}$

(2)

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