東京大学(理系) 2019年 問題1
$次の定積分を求めよ。$
\[\quad \int _0^1 \big(x^2+\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\big)\big(1+\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\big)dx\]
$(解説)$
$あれこれ考えずに被積分関数を展開して、置換積分して求めます。$
\[I=\int _0^1 \big(x^2+\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\big)\big(1+\cfrac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\big)dx \quad とおくと\] $展開して$
\[I=\int _0^1 \big(x^2+\cfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} +\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\cfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\big)dx\]
\[I_1=\int _0^1 x^2dx=\big[\cfrac{x^3}{3}\big]_0^1=\cfrac{1}{3}\]
\begin{eqnarray*} I_2 &=&\int _0^1 \big(\cfrac{x^3}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} +\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\big)dx\\ \\ &=&\int _0^1 \big(\cfrac{(2x^2+1)x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}dx\\ \\ &&1+x^2=t \quad と変換すると \qquad \begin{array}{c|c} x & 0\ \ \rightarrow 1 \\ \hline t & \ 1 \rightarrow 2 \\ \end{array} \\ \\ &&2xdx=dt,\quad 2x^2+1=2(t-1)+1=2t-1\\ \\ I_2 &=&\int _1^2 \cfrac{2t-1}{t\sqrt{t}} \times \cfrac{dt}{2}\\ \\ &=&\int _1^2 \big(t^{\small{-\dfrac{1}{2}}}-\small{\cfrac{1}{2}}t^{\small{-\dfrac{3}{2}}}\big)dt\\ &=&\big[\ 2\ t^{\small{\dfrac{1}{2}}}+t^{\small{-\dfrac{1}{2}}}\ \big]_1^2\\ \\ &=&\cfrac{5\sqrt{2}}{2}-3\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} I_3 &=&\int _0^1 \cfrac{x^2}{(1+x^2)^2}dx\\ \\ &&x=\tan u \quad と変換すると \qquad \begin{array}{c|c} x & 0\ \ \rightarrow 1 \\ \hline u & \ 0 \rightarrow \small{\cfrac{\pi}{4}} \\ \end{array} \\ \\ &&dx=\cfrac{du}{\cos ^2 u}\\ \\ I_3 &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \tan ^2 u \times \cfrac{1}{(1+\tan ^2 u)^2} \times \cfrac{du}{\cos ^2 u}\\ \\ &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \cfrac{\sin ^2 u}{\cos ^2 u} \times \cos ^4 u \times \cfrac{du}{\cos ^2 u}\\ \\ &=&\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} \sin ^2 u du\\ &=&\cfrac{1}{2}\int _0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}} (1-\cos 2 u) du\\ &=&\cfrac{1}{2}\big [u-\cfrac{1}{2}\sin 2 u \big ]_0^{\small{\cfrac{\pi}{4}}}\\ &=&\cfrac{\pi}{8}-\cfrac{1}{4}\\ \end{eqnarray*}
$よって$
$\quad I=I_1+I_2+I_3=\cfrac{1}{3}+(\cfrac{5\sqrt{2}}{2}-3)+(\cfrac{\pi}{8}-\cfrac{1}{4}) =\cfrac{5\sqrt{2}}{2}+\cfrac{\pi}{8}-\cfrac{35}{12}$
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