東京農工大学 2025年　問題4


$e\ は自然対数の底とする。xy\ 平面において、t\ を媒介変数として、x=e^t+t,\quad y=e^t+2e^{-t}-3 \quad で$
$表される曲線を \ C\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 曲線 \ C\ と \ x\ 軸の共有点の座標を求めよ。$
$(2)\ \ 曲線 \ C\ 上の点で、y座標が最小となる点を \ P\ とする。点 \ P\ の座標を求めよ。$
$(3)\ \ 曲線 \ C\ と \ x\ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。$


(1)


$曲線 \ C\ と \ x\ 軸の共有点は \ \ y=0\ \ だから$

$e^t+2e^{-t}-3=0$

$e^{2t}-3e^t+2=0$

$(e^t-1)(e^t-2)=0$

$\ \ e^t=1 \ \ のとき \quad t=0 \ \ だから \quad x=1$

$\ \ e^t=2 \ \ のとき \quad t=\log 2 \ \ だから \quad x=2+\log 2$

$共有点の座標は \quad (1,\ 0),\quad (2+\log 2,\ 0)$


(2)


$y=e^t+2e^{-t}-3 \quad の最小値は$

$y'=e^t-2e^{-t}=\dfrac{e^{2t}-2}{e^t}$

$y'=0 \ \ より \quad e^{2t}=2 \qquad 2t=\log 2 \qquad t=\dfrac{1}{2}\log 2$

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & \cdots & \dfrac{1}{2}\log 2 & \cdots \\ \hline y'& - & 0 & + & \\ \hline y& \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$t=\dfrac{1}{2}\log 2 \ \ で \ y\ は極小かつ最小となり、最小値は$

$e^t=\sqrt{2} \ \ だから \quad y=\sqrt{2}+ \dfrac{2}{\sqrt{2}}-3=2\sqrt{2}-3$

$このとき \quad x=\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}\log 2$

$よって点 \ P\ の座標は \quad (\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}\log 2, \ 2\sqrt{2}-3)$


(3)


$x=e^t+t \ \ より \quad \dfrac{dx}{dt}=e^t+1>0$

$(2)より \quad \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{e^{2t}-2}{e^t}$

　

$x,y\ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t & \cdots & \dfrac{1}{2}\log 2 & \cdots \\ \hline \cfrac{dx}{dt} & + & + & + \\ \hline \cfrac{dy}{dt} & - & 0 & + \\ \hline x & \nearrow & \nearrow & \nearrow \\ \hline y& \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$(x,\ y) \ のグラフは右図のとおり$

$曲線 \ C\ と \ x\ 軸で囲まれた部分の面積 \ S\ は$

\begin{eqnarray*} S &=&-\int_1^{2+\log 2} ydx\\ \\ &=&-\int_0^{\log 2} (e^t+2e^{-t}-3)(e^t+1)dt\\ \\ &=&-\int_0^{\log 2} (e^{2t}-2e^t+2e^{-t}-1)dt\\ \\ &=&-\big[\dfrac{1}{2}e^{2t}-2e^t-2e^{-t}-t\big]_0^{\log 2}\\ \\ &=&-\big(\dfrac{1}{2} \times 4 -2 \times 2 -2 \times \dfrac{1}{2} - \log 2 -(\dfrac{1}{2}-2-2)\big)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2}+\log 2 \end{eqnarray*}

ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る