東京農工大学 2025年 問題3
$b\ は正の定数とする。座標平面上を運動する点 \ P\ の時刻tにおける座標 \ (x,\ y)\ が \ \ x=b\cos t,\ \ y=\sin 2t \ \ で$
$表されるとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ t=\dfrac{\pi}{3}\ \ における点\ P\ の速さと加速度の大きさを、それぞれ \ b\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 点 \ p\ の速さの最小値を、b\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ b=2\sqrt{2} とする。 0 < t <\dfrac{\pi}{2}\ \ のとき、点 \ P\ の速度ベクトルと加速度ベクトルが垂直となる時刻 \ t\ を求めよ。$
$右図は \ b=2\ の場合のグラフで、一般に「リサージュ図形」といいます。$
(1)
$x=b\cos t,\ \ y=\sin 2t \ \ より$
$\dfrac{dx}{dt}=-b\sin t,\quad \dfrac{dy}{dt}=2\cos 2t$
$\dfrac{d^2x}{dt^2}=-b\cos t,\quad \dfrac{d^2y}{dt^2}=-4\sin 2t$
$t=\dfrac{\pi}{3} のとき$
$x=b\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{b}{2},\quad y=\sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{dx}{dt}=-b\sin \dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}b,\quad \dfrac{dy}{dt}=2\cos \dfrac{2\pi}{3}=-1$
$\dfrac{d^2x}{dt^2}=-b\cos \dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{b}{2},\quad \dfrac{d^2y}{dt^2}=-4\sin \dfrac{2\pi}{3}=-2\sqrt{3}$
$点\ P\ の速さ \ v\ は$
$v=\sqrt{\big(\dfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\dfrac{dy}{dt}\big)^2}=\sqrt{\big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}b\big)^2+(-1)^2}=\sqrt{\dfrac{3}{4}b^2+1}$
$点\ P\ の加速度の大きさ \ a\ は$
$a=\sqrt{\big(\dfrac{d^2x}{dt^2}\big)^2+\big(\dfrac{d^2y}{dt^2}\big)^2}=\sqrt{\big(-\dfrac{b}{2}\big)^2+(-2\sqrt{3})^2}=\sqrt{\dfrac{b^2}{4}+12}$
(2)
\begin{eqnarray*} v^2 &=&(-b\sin t)^2+(2\cos 2t)^2\\ \\ &=&b^2\sin ^2t +4\cos ^22t\\ \\ &=&b^2\sin ^2t +4(1-2\sin ^2t)^2\\ \\ &=&16\sin^4t+(b^2-16)\sin^2t+4\\ \end{eqnarray*}
$\sin t=u \ \ とおくと \quad -1 \leqq u \leqq 1$
$f(u)=16u^4+(b^2-16)u^2+4 \ \ とおくと$
$f(u)\ は遇関数だから \ \ 0 \leqq u \leqq 1 \ \ で考えれば十分である。$
$f'(u)=64u^3+2(b^2-16)u=2u(32u^2+b^2-16)$
(i)$\ \ b^2-16 \geqq 0 \ \ のとき$
$\quad f'(u) > 0\ となり、f(u)\ は単調増加だから \ u=0 \ で最小となり、最小値は \ \ f(0)=4$
$\quad よって \quad v=2$
(ii)$\ \ b^2-16 < 0 \ \ のとき$
$\quad f'(u)= 0 \ \ より \quad u=\sqrt{\dfrac{16-b^2}{32}}$
$\quad 増減表$
\[ \quad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} u& 0 & \cdots & \sqrt{\dfrac{16-b^2}{32}} & \cdots & 1\\ \hline f'(u) & & - & 0 & + & \\ \hline f(u) & & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \end{array} \]
$\quad f(u)\ は \ \ u=\sqrt{\dfrac{16-b^2}{32}} \ \ で極小かつ最小となり、最小値は$
\begin{eqnarray*} \quad & &f(\sqrt{\dfrac{16-b^2}{32}})\\ \\ &=&16\big(\dfrac{16-b^2}{32}\big)^2+(b^2-16) \times \dfrac{16-b^2}{32}+4\\ \\ &=&\dfrac{(16-b^2)^2}{64}-\dfrac{(16-b^2)^2}{32}+4\\ \\ &=&-\dfrac{(16-b^2)^2}{64}+4\\ \\ &=&-\dfrac{16^2-32b^2+b^4}{64} + \dfrac{4 \times 64}{64}\\ \\ &=&\dfrac{32b^2-b^4}{64}\\ \end{eqnarray*} $\quad よって \quad v=\dfrac{b\sqrt{32-b^2}}{8}$
$以上より\ \ 点 \ p\ の速さの最小値は$
$b \geqq 4 \ \ のとき \quad 2$
$0 < b < 4 \ \ のとき \quad \dfrac{b\sqrt{32-b^2}}{8}$
(3)
$b=2\sqrt{2} \ \ のとき$
$\vec{v}=(-2\sqrt{2}\sin t,\ 2\cos 2t ),\quad \vec{\alpha}=(-2\sqrt{2}\cos t,\ -4\sin 2t)$
$\vec{v} \perp \vec{\alpha} \ \ より \quad \vec{v} \cdot \vec{\alpha}=0$
$(-2\sqrt{2}\sin t) \times (-2\sqrt{2}\cos t) + 2\cos 2t \times (-4\sin 2t)=0$
$8\sin t \cos t -8\cos 2t \sin 2t=0$
$4\sin 2t -8\cos 2t \sin 2t=0$
$\sin 2t(1-2\cos 2t )=0$
$ 0 < t <\dfrac{\pi}{2}\ \ のとき、0 <2t < \pi \ \ だから$
$\sin 2t > 0$
$\cos 2t=\dfrac{1}{2}\ \ より \quad 2t=\dfrac{\pi}{3} \qquad \therefore \ \ t=\dfrac{\pi}{6}$
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