東京農工大学 2025年　問題2


$関数\ f(x)=\tan x \ \ (-\dfrac{\pi}{2} < x < \dfrac{\pi}{2}) \ \ の逆関数を \ g(x)\ とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ g(\sqrt{3}),\ \ g(-1) \ \ の値を、それぞれ求めよ。$
$(2)\ \ g(3)=\alpha , \ \ g(7)=\beta \ \ とおく。$
$\quad $(i)$\ \ \tan \alpha,\ \ \cos \alpha , \ \ \sin \alpha \ \ の値を、それぞれ求めよ。$
$\quad $(ii)$\ \ \tan(2\alpha + \beta )\ の値を求めよ。$
$\quad $(iii)$\ \ 2\alpha +\beta \ \ の値を求めよ。$


(1)


$x=g(\sqrt{3}) \ \ は \ \ \tan x=\sqrt{3} \ \ のことだから \quad x=\dfrac{\pi}{3}$

$x=g(-1)\ \ は \ \ \tan x=-1 \ \ のことだから \quad x=-\dfrac{\pi}{4}$


(2)


(i)$\ \ $

$g(3)=\alpha \ \ より \quad \tan \alpha =3$

$1+\tan ^2\alpha =\dfrac{1}{\cos ^2 \alpha} \ \ より$

$\cos ^2 \alpha=\dfrac{1}{1+\tan ^2 \alpha}=\dfrac{1}{1+3^2}=\dfrac{1}{10}$

$-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \dfrac{\pi}{2} \ \ だから \quad \cos \alpha > 0 $

$よって \quad \cos \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin \alpha =\tan \alpha \times \cos \alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$


(ii)$\ \ $

$\tan 2\alpha =\dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha}=\dfrac{2 \times 3}{1-3^2}=-\dfrac{3}{4}$

$g(7)=\beta \ \ より \quad \tan \beta =7$

\begin{eqnarray*} \tan(2\alpha + \beta) &=&\dfrac{\tan 2\alpha + \tan \beta}{1-\tan 2\alpha \cdot \tan \beta}\\ \\ &=&\dfrac{-\dfrac{3}{4} +7}{1+\dfrac{3}{4} \times 7}\\ \\ &=&1 \end{eqnarray*}
(iii)$\ \ $

$\tan \alpha > 0 \ \ より \quad 0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2} , \quad \tan 2 \alpha < 0 \ \ より \quad \dfrac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi$

$\tan \beta > 0 \ \ より \quad 0 < \beta < \dfrac{\pi}{2}$

$よって \quad \dfrac{\pi}{2} < 2\alpha + \beta < \dfrac{3}{2}\pi$

(ii)$\ \ より \quad \tan(2\alpha + \beta)=1 \ \ だから \quad 2\alpha + \beta =\dfrac{5}{4}\pi$


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