東京農工大学 2025年　問題1


$O\ を原点とする座標空間に \ 3\ 点 \ A(1,\ -4,\ 0),\ \ B(2,\ -3,\ 1),\ \ C(-1,\ 2,\ -2)\ \ がある。3\ 点 \ A,\ B,\ C\ が$
$定める平面を \ \alpha \ とする。また、点 \ O\ から平面 \ \alpha \ に垂線 \ CD\ を下ろす。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 点 \ D\ の座標を求めよ。$
$(2)\ \ 直線 \ AD\ と直線 \ BC\ の交点を \ E\ とする。点 \ E\ の座標を求めよ。$
$(3)\ \ x,\ y\ は実数とし、点 \ P\ は\ \ \vec{OP}=x\vec{AB}+y\vec{AC},\ \ |\vec{OP}|=8\ \ を満たすとする。$
$\quad $(i)$\ \ y\ のとりうる値の範囲を求めよ。$
$\quad $(ii)$\ \ 2\ つのベクトル \ \vec{OB},\ \vec{OP}\ のなす角を \ \theta \ とするとき、\cos \theta \ の最小値を求めよ。また、最小値を$
$\qquad とるときの点 \ P\ の座標を求めよ。$


(1)

　

$3\ 点 \ A,\ B,\ C\ が定める平面 \ \alpha \ を \quad ax+by+cz=d \ \ とおくと$

$A(1,\ -4,\ 0)\ \ を通るから \quad a-4b=d \hspace{9em}①$

$B(2,\ -3,\ 1)\ \ を通るから \quad 2a-3b+c=d \hspace{7em}②$

$C(-1,\ 2,\ -2)\ \ を通るから \quad -a+2b-2c=d \hspace{5em}③$

$② \times 2+③ \quad 3a-4b=3d \hspace{5em}④$

$④-①より\quad 2a=2d \qquad a=d$

$①に代入して \quad d-4b=d \qquad b=0$

$②に代入して\quad 2d+c=d \qquad c=-d$

$よって \quad \alpha \ は \quad dx-dz=d \ \ すなわち \quad x-z=1$

$法線ベクトルは \quad \vec{n}=(1,\ 0,\ -1)$

$点 \ O\ から平面 \ \alpha \ に垂線 \ CD\ を下ろすから \quad \vec{OD} /\!/ \vec{n}$

$\vec{OD}=k\vec{n}=k(1,\ 0,\ -1)=(k,\ 0,\ -k) $

$D\ は平面 \ \alpha \ \ 上の点だから \quad k-(-k)=1$

$k=\dfrac{1}{2} \qquad \therefore \ \ \vec{OD}=(\dfrac{1}{2},\ 0,\ -\dfrac{1}{2})$

$したがって \quad D(\dfrac{1}{2},\ 0,\ -\dfrac{1}{2})$


(2)

　

$4\ 点A,\ B,\ C,\ D\ は平面 \ \alpha \ 上の点で、AD\ と \ BC\ は平行でないから$

$必ず交点 \ E\ をもつ。$

$AE:ED=t:1-t,\qquad BE:EC=s:1-s \ \ とおいて \ \ \vec{OE}\ を \ 2\ 通りで表すと$

$\vec{OE}=(1-t)\vec{OA}+t\vec{OD}=(1-t)(1,\ -4,\ 0)+t(\dfrac{1}{2},\ 0,\ -\dfrac{1}{2})=(1-\dfrac{t}{2},\ -4+4t,\ -\dfrac{t}{2})$

$\vec{OE}=(1-s)\vec{OB}+s\vec{OC}=(1-s)(2,\ -3,\ 1)+s(-1,\ 2,\ -2)=(2-3s,\ -3+5s,\ 1-3s)$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 1-\dfrac{t}{2}=2-3s \hspace{6em}①\\ -4+4t=-3+5s \hspace{4.5em}②\\ -\dfrac{t}{2}=1-3s \hspace{7em}③\\ \end{array} \right. \]
$①と③は同値だから$

$① \times 8+② \ \ より \quad 4=13-19s \qquad s=\dfrac{9}{19}$

$\vec{OE}=(2-3 \times \dfrac{9}{19},\ -3+5 \times \dfrac{9}{19},\ 1-3 \times \dfrac{9}{19})=(\dfrac{11}{19},\ -\dfrac{12}{19},\ -\dfrac{8}{19})$

$よって \quad E(\dfrac{11}{19},\ -\dfrac{12}{19},\ -\dfrac{8}{19})$


(3)


(i)$\ \ $

$\vec{OP}=x\vec{AB}+y\vec{AC}=x(1,\ 1,\ 1)+y(-2,\ 6,\ -2)=(x-2y.\ x+6y,\ x-2y)$

$|\vec{OP}|=8\ \ より \quad (x-2y）^2+(x+6y)^2+(x-2y)^2=64$

$3x^2+4xy+44y^2-64=0 \hspace{5em}①$

$x\ は実数だから$

$\dfrac{D}{4}=(2y)^2-3(44y^2-64) \geqq 0$

$128y^2-192 \leqq 0$

$2y^2-3 \leqq 0$

$-\dfrac{\sqrt{6}}{2} \leqq y \leqq \dfrac{\sqrt{6}}{2}$


(ii)$\ \ $

$\cos \theta=\dfrac{\vec{OB} \cdot \vec{OP}}{|\vec{OB}||\vec{OP}|}=\dfrac{2(x-2y)-3(x+6y)+(x-2y)}{\sqrt{14} \times 8}=-\dfrac{3}{\sqrt{14}}y$

(i)$\ \ より -\dfrac{\sqrt{6}}{2} \leqq y \leqq \dfrac{\sqrt{6}}{2} \quad だから$

$\cos \theta \ は、y= \dfrac{\sqrt{6}}{2}\ \ のとき最小値 \quad -\dfrac{3}{\sqrt{14}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{2}=-\dfrac{3\sqrt{21}}{14} \ \ をもつ$

$このとき \ \ y\ を①に代入して$

$3x^2+4x \times \dfrac{\sqrt{6}}{2} + 44 \times \big(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\big)^2=64$

$3x^2+2\sqrt{6}x+2=0$

$(\sqrt{3}x+\sqrt{2})^2=0$

$x=-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

\begin{eqnarray*} \vec{OP} &=&(x-2y.\ x+6y,\ x-2y)\\ \\ &=&\big(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}-2 \times \dfrac{\sqrt{6}}{2},\ -\dfrac{\sqrt{6}}{3}+6 \times \dfrac{\sqrt{6}}{2},\ -\dfrac{\sqrt{6}}{3}-2 \times \dfrac{\sqrt{6}}{2}\big)\\ \\ &=&\big(-\dfrac{4\sqrt{6}}{3},\ \dfrac{8\sqrt{6}}{3},\ -\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\big)\\ \end{eqnarray*} $よって P\ の座標は \quad P\big(-\dfrac{4\sqrt{6}}{3},\ \dfrac{8\sqrt{6}}{3},\ -\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\big)$


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