東京農工大学 2023年 問題4
$関数 \ \ f(t)=t-\sin t \ \ について、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 数直線上を運動する点 \ P\ の時刻 \ t\ における速度 \ v\ が \ \ v=tf(t)\ \ であるとする。t=0 \ における \ P\ の$
$\quad 座標が \ 0\ であるとき、t=\cfrac{\pi}{2}\ \ のときの \ P\ の座標を求めよ。$
$(2)\ \ 数直線上を運動する点 \ Q\ の時刻 \ t\ における速度 \ v\ が \ \ v=-6f\big(2t-\cfrac{2}{3}\pi \big)\ \ であるとする。$
$\quad t=0 \ から \ t=\cfrac{\pi}{2}\ までの間に \ Q\ が動く道のりを求めよ。$
(1)
$v=tf(t) \quad より \quad \cfrac{dx}{dt}=t(t-\sin t) \quad だから$
\begin{eqnarray*} x &=&\int t(t-\sin t)dt\\ \\ &=&t \big(\cfrac{t^2}{2}+\cos t\big)-\int \big(\cfrac{t^2}{2}+\cos t\big)dt\\ \\ &=&t\big(\cfrac{t^2}{2}+\cos t\big)- \big(\cfrac{t^3}{6}+\sin t\big)+C\\ \\ &=&\cfrac{t^3}{3}+t\cos t -\sin t +C\\ \end{eqnarray*}
$t=0 \ \ のとき \ \ x=0 \ \ より \quad C=0$
$よって \quad t=\cfrac{\pi}{2} \ \ のときの \ P\ の座標は$
$x=\cfrac{1}{3}\big(\cfrac{\pi}{2}\big)^3 + \cfrac{\pi}{2} \cos \cfrac{\pi}{2} -\sin \cfrac{\pi}{2}=\cfrac{\pi ^3}{24}-1 $
(2)
\begin{eqnarray*} v &=&-6f\big(2t-\cfrac{2}{3}\pi \big)\\ \\ &=&-6\big\{\big(2t-\cfrac{2}{3}\pi \big) -\sin \big(2t-\cfrac{2}{3}\pi \big)\big\}\\ \\ &=&4\pi -12t+6\sin \big(2t-\cfrac{2}{3}\pi \big) \end{eqnarray*}
$点 \ Q\ が運動の向きを変える時点を調べるには速度 \ v\ の増減を調べればよい。$
$\cfrac{dv}{dt}=-12+12\cos \big(2t-\cfrac{2}{3}\pi\big)=-12\Big(1-\cos \big(2t-\cfrac{2}{3}\pi\big)\Big)$
$\cfrac{dv}{dt}=0 \quad より \quad \cos \big(2t-\cfrac{2}{3}\pi\big)=1$
$0 \leqq t \leqq \cfrac{\pi}{2} \ \ より \quad -\cfrac{2}{3}\pi \leqq 2t-\cfrac{2}{3}\pi \leqq \cfrac{\pi}{3} \quad だから \quad 2t-\cfrac{2}{3}\pi =0 \qquad \therefore \ \ t=\cfrac{\pi}{3}$
$t=0 \ \ のとき \quad v=4\pi + 6\sin(-\cfrac{2}{3}\pi)=4\pi -3\sqrt{3} > 0$
$v \ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& 0 & \cdots & \cfrac{\pi}{3} & \cdots & \cfrac{\pi}{2}\\ \hline \cfrac{dv}{dt}& & - & 0 & - & \\ \hline v & + & \searrow & 0 & \searrow & - \\ \end{array} \]
$したがって 点 \ Q\ は$
(i)$\ \ (0,\ \cfrac{\pi}{3}) \ \ では \ v > 0 \ で数直線上の正の方向に進むから移動距離 \ s_1\ は$
\begin{eqnarray*} s_1 &=&\int_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{3}}} \big\{4\pi -12t+6\sin \big(2t-\cfrac{2}{3}\pi \big)\big\}dt\\ \\ &=&\big[4\pi t - 6t^2 -3\cos \big(2t-\cfrac{2}{3}\pi) \big]_0^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{3}}}\\ \\ &=&4\pi (\cfrac{\pi}{3})-6(\cfrac{\pi}{3})^2-3\cos(\cfrac{2\pi}{3}- \cfrac{2\pi}{3})+3\cos (-\cfrac{2\pi}{3})\\ \\ &=&\cfrac{2}{3}\pi^2-\cfrac{9}{2} \end{eqnarray*}
(ii)$\ \ (\cfrac{\pi}{3},\ \cfrac{\pi}{2}) \ \ では \ v < 0 \ で数直線上の負の方向に進むから移動距離 \ s_2\ は$
\begin{eqnarray*} s_2 &=&-\int_{\scriptsize{\cfrac{\pi}{3}}}^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}} \big\{4\pi -12t+6\sin \big(2t-\cfrac{2}{3}\pi \big)\big\}dt\\ \\ &=&-\big[4\pi t - 6t^2 -3\cos \big(2t-\cfrac{2}{3}\pi) \big]_{\scriptsize{\cfrac{\pi}{3}}}^{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}\\ \\ &=&-\big\{2\pi ^2 -6 (\cfrac{\pi}{2})^2 -3\cos(\pi -\cfrac{2\pi}{3})\big\}+ \cfrac{4}{3} \pi ^2-6(\cfrac{\pi}{3})^2-3\cos(\cfrac{2\pi}{3}- \cfrac{2\pi}{3})\\ \\ &=&\cfrac{1}{6}\pi^2-\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}
$よって \quad t=0 \ から \ t=\cfrac{\pi}{2}\ までの間に \ Q\ が動く道のり \ s\ は$
$s=s_1+s_2=(\cfrac{2}{3}\pi^2-\cfrac{9}{2})+(\cfrac{1}{6}\pi^2-\cfrac{3}{2})=\cfrac{5}{6}\pi^2-6$
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