東京農工大学 2023年　問題3


$関数 \ f(x)\ を \ \ f(x)=-\cfrac{(\log x)^3}{x^2}\ \ (x > 0) \ \ とする。また、xy\ 平面上の曲線 \ y=f(x)\ を \ C\ とおく。$
$ただし、対数は自然対数とし、e\ は自然対数の底とする。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 関数 \ f(x)\ の極値を求めよ。また、極値をとるときの \ x\ の値を求めよ。$
$(2)\ \ 曲線 \ C\ の接線のうち、原点を通る接線の方程式を求めよ。$
$(3)\ \ 曲線 \ C,\ x\ 軸,\ y\ 軸および直線 \ y=f\big(\cfrac{1}{\sqrt{e}}\big)\ で囲まれた部分を、y\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる$
$\quad 立体の体積を求めよ。$

(1)


$f(x)=-\cfrac{(\log x)^3}{x^2} \quad より$

\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\cfrac{-3(\log x)^2 \times \dfrac{1}{x} \times x^2 + (\log x)^3 \times 2x}{x^4}\\ \\ &=&\cfrac{-3(\log x)^2 + 2(\log x)^3 }{x^3}\\ \\ &=&\cfrac{(\log x)^2 ( 2\log x -3)}{x^3}\\ \end{eqnarray*}
$f'(x)=0 \quad の解は$

(i)$\ \ \log x =0 \quad より \quad x=1$

(ii)$\ \ \log x=\cfrac{3}{2} \quad より \quad x=e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}$

　

$f(x) \ の増減表は$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}} & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x) & & \searrow & & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \] $f(x)\ は \ \ ｘ＝e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}\ \ で極小となり、極小値は$

$\quad f(e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}})=-\cfrac{(\dfrac{3}{2})^3}{(e^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}})^2}=-\cfrac{27}{8e^3}$

$なお、グラフは右図のとおりで、x軸：y軸の目盛りの比は \ 10:1\ である。$


(2)


$接点を \ (a,\ -\cfrac{(\log a)^3}{a^2})\ \ とおくと$

$接線の方程式は$

$\quad y=\cfrac{(\log a)^2 ( 2\log a -3)}{a^3}(x-a)-\cfrac{(\log a)^3}{a^2} $

$これが原点を通るから$

$\quad 0=\cfrac{(\log a)^2 ( 2\log a -3)}{a^3}(-a)-\cfrac{(\log a)^3}{a^2} $

　

$(\log a)^2 ( 2\log a -3) +(\log a)^3=0$

$(\log a)^2 ( 2\log a -3 +\log a)=0$

$(\log a)^2 (\log a -1)=0$

(i)$\ \ \log a=0 \ \ のとき \ \ a=1\ \ で 接線は \quad y=0$

(ii)$\ \ \log a=1 \ \ のとき \ \ a=e \ \ で接線は$

$\qquad y=-\cfrac{1}{e^3}(x-e)-\cfrac{1}{e^2} \qquad \therefore \ \ y=-\cfrac{1}{e^3}x$



(3)


$曲線 \ C,\ x\ 軸,\ y\ 軸および直線 \ y=f\big(\cfrac{1}{\sqrt{e}}\big)\ で囲まれた部分は右図のとおり$

　

$f(\cfrac{1}{\sqrt{e}})=-\big(\log \cfrac{1}{\sqrt{e}}\big)^3 \times (\sqrt{e})^2=-\big(-\log e^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}\big)^3 \times e=\cfrac{e}{8}$

$この部分を、y\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の体積 \ V\ は$
\[V=\pi \int _0^{\scriptsize{\cfrac{e}{8}}} x^2dy\]
\[ 積分変数を \ y\ から \ x\ に変更すると\\ \\ y=-\cfrac{(\log x)^3}{x^2} \quad より \quad dy=\cfrac{(\log x)^2 ( 2\log x -3)}{x^3}dx \qquad \begin{array}{c|c} y & 0\ \ \rightarrow \cfrac{e}{8} \quad \\ \hline x & 1 \rightarrow \cfrac{1}{\sqrt{e}} \\ \end{array} \]
\[V=\pi \int _1^{\scriptsize{\cfrac{1}{\sqrt{e}}}} x^2 \times \cfrac{(\log x)^2 ( 2\log x -3)}{x^3}dx =\pi \int _1^{\scriptsize{\cfrac{1}{\sqrt{e}}}} \cfrac{(\log x)^2 ( 2\log x -3)}{x}dx\]
\[ \log x=t \quad とおくと \quad \cfrac{dx}{x}=dt \qquad \begin{array}{c|c} x & 1 \rightarrow \cfrac{1}{\sqrt{e}} \\ \hline t & \ 0\ \ \rightarrow -\cfrac{1}{2} \quad \\ \end{array} \]
\begin{eqnarray*} V &=&\pi\int_0^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}t^2(2t-3)dt\\ \\ &=&\pi\int_0^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}(2t^3-3t^2)dt\\ \\ &=&\pi\big[\cfrac{t^4}{2}-t^3\big]_0^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}\\ \\ &=&\pi \big(\cfrac{1}{32}+\cfrac{1}{8}\big)\\ \\ &=&\cfrac{5}{32}\pi \end{eqnarray*}

$(別解)\ \ バームクーヘン分割による方法$

　

$この積分については($バームクーヘン分割の回転体の体積$)を参考にしてください。$

$y\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の体積 \ V\ は$

$右図のように、OA\ を底面の円の半径、OC\ を高さとする円柱の体積 \ V_1\ と$

$曲線 \ Cと \ x\ 軸で挟まれた部分の \ \ x=\cfrac{1}{\sqrt{e}}\ から \ x=1\ までの部分を$

$y\ 軸の周りに \ 1\ 回転させてできる立体の体積 \ V_2\ の和である。$

$V_1=\pi \times \big(\cfrac{1}{\sqrt{e}}\big)^2 \times \cfrac{e}{8}=\cfrac{\pi}{8}$

$V_2 \ はバームクーヘン分割による方法を用いて$

\begin{eqnarray*} V_2 &=&2\pi\int _{\scriptsize{\cfrac{1}{\sqrt{e}}}}^1 xydx\\ \\ &=&-2\pi\int _{\scriptsize{\cfrac{1}{\sqrt{e}}}}^1 \cfrac{(\log x)^3}{x}dx\\ \\ &=&-2\pi\big[\cfrac{(\log x)^4}{4}\big] _{\scriptsize{\cfrac{1}{\sqrt{e}}}}^1 \\ \\ &=&\cfrac{\pi}{2}\big(\log\cfrac{1}{\sqrt{e}}\big)^4\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{32} \end{eqnarray*} $よって \quad V=V_1+V_2=\cfrac{\pi}{8}+\cfrac{\pi}{32}=\cfrac{5}{32}\pi$


ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る