東京農工大学 2023年 問題2
$数列 \ \{a_n\},\ \{b_n\}\ を \ a_1=1,\ b_1=2,\ a_{n+1}=6a_n + b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\ \ b_{n+1}=-3a_n + 2b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) $
$により定める。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_2,\ \ b_2\ の値を、それぞれ求めよ。$
$(2)\ \ 数列 \ \ \{a_n + b_n\},\ \ \{3a_n + b_n\}\ の一般項を、それぞれ求めよ。$
$(3)\ \ 数列 \ \ \{a_n\},\ \ \{b_n\}\ の一般項を、それぞれ求めよ。$
$(4)\ \ 数列 \ \ \{c_n\}\ を \ c_1=a_1 + b_1,\ \ c_{n+1}=(a_{n+1} + b_{n+1)}c_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)\ により定める。$
$\quad 数列 \ \ \{c_n\}\ の一般項を求めよ。$
(1)
$a_2=6a_1+b_1=6 \times 1+2=8$
$b_2=-3a_1+2b_1=-3 \times 1+2 \times 2=1$
(2)
$a_{n+1} + b_{n+1}=(6a_n + b_n )+(-3a_n + 2b_n)=3(a_n + b_n )$
$\quad \{a_n + b_n \}\ \ は初項 \ a_1+b_1=3,\quad 公比 \ 3の等比数列だから$
$\quad a_n + b_n=3 \times 3^{n-1}=3^n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$3a_{n+1} + b_{n+1}=3(6a_n + b_n )+(-3a_n + 2b_n)=5(3a_n + b_n )$
$\quad \{3a_n + b_n \}\ \ は初項 \ 3a_1+b_1=5,\quad 公比 \ 5の等比数列だから$
$\quad 3a_n + b_n=5 \times 5^{n-1}=5^n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(3)
$(2)より \ \ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \ \ に対して$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a_n + b_n=3^n \hspace{5.5em}①\\ 3a_n + b_n=5^n \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$②-①\ \ より \quad 2a_n =5^n - 3^n \qquad \therefore a_n=\cfrac{1}{2}(5^n - 3^n)$
$① \times 3-②\ \ より \quad 2b_n =3^{n+1} - 5^n \qquad \therefore b_n=-\cfrac{1}{2}(5^n - 3^{n+1})$
(4)
$c_1=a_1+b_1=3$
$(2)より \quad a_n + b_n=3^n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad だから$
$c_{n+1}=(a_{n+1} + b_{n+1})c_n =3^{n+1}c_n \qquad \cfrac{c_{n+1}}{c_n}=3^{n+1} \quad よって \quad \cfrac{c_n}{c_{n-1}}=3^n$
$\cfrac{c_n}{c_{n-1}} \times \cfrac{c_{n-1}}{c_{n-2}} \times \cdots \times \cfrac{c_2}{c_1}=3^n \times 3^{n-1} \times \cdots \times 3^2$
$\cfrac{c_n}{c_1}=3^2 \times 3^3 \times \cdots \times 3^n$
\begin{eqnarray*} c_n &=&c_1 \times 3^2 \times 3^3 \times \cdots \times 3^n\\ \\ &=&3 \times 3^2 \times 3^3 \times \cdots \times 3^n\\ \\ &=&3^{1+2+ \cdots + n}\\ \\ &=&3^{\scriptsize{\cfrac{n(n+1)}{2}}}\\ \end{eqnarray*} $n=1\ \ とおくと \quad 左辺=c_1=3,\qquad 右辺= 3^{\scriptsize{\cfrac{1\times 2}{2}}}=3$
$したがって c_n=3^{\scriptsize{\cfrac{n(n+1)}{2}}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$(研究 \ 1)$
$(2)は \ \ \{a_n + b_n\},\ \ \{3a_n + b_n\}\ の一般項を求める問題であるが、そもそもこの式はどこから出てきたのか。$
$まず、この疑問について考えてみましょう。$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=6a_n + b_n \hspace{6em}①\\ b_{n+1}=-3a_n + 2b_n \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$この連立漸化式から \ \ p,\ q\ を定数として$
$a_{n+1}+pb_{n+1}=q(a_n+pb_n) \quad と変形できたとすると①、②をつかって$
$a_{n+1}+pb_{n+1}=(6a_n + b_n)+p(-3a_n + 2b_n)=(6-3p)a_n+(1+2p)b_n \quad だから$
$(6-3p)a_n+(1+2p)b_n= q(a_n+pb_n)$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} 6-3p=q \hspace{5.5em}①\\ 1+2p=pq \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$①を②に代入して \qquad 1+2p=p(6-3p)$
$3p^2-4p+1=0 \qquad (p-1)(3p-1)=0 \qquad p=1,\ \ \cfrac{1}{3}\quad それぞれ①に代入して$
$p=1\ \ のとき \ \ q=3\ \ だから \quad a_{n+1}+b_{n+1}=3(a_n+b_n)$
$p=\cfrac{1}{3}\ \ のとき \ \ q=5 \ \ だから \quad a_{n+1}+ \cfrac{1}{3}b_{n+1}=5(a_n+\cfrac{1}{3}b_n) \qquad 3a_{n+1} + b_{n+1}=5(3a_n + b_n )$
$これが、からくりです。$
$(研究 \ 2)$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=6a_n + b_n \hspace{6em}①\\ b_{n+1}=-3a_n + 2b_n \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \] $このような連立漸化式は、例えば \ b_n \ を消去して \ a_n\ の漸化式を求めます。$
$①より \quad b_n=a_{n+1}-6a_n \hspace{5em}③$
$n \longrightarrow n+1 \ \ とおいて \quad b_{n+1}=a_{n+2}-6a_{n+1}$
$②に代入し、③をつかって$
$a_{n+2}-6a_{n+1}=-3a_n + 2(a_{n+1}-6a_n)$
$a_{n+2}-8a_{n+1}+15a_n=0 \hspace{5em}④$
$こうして、隣接 \ 3\ 項間の漸化式が導かれます。$
$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n) \quad と変形できたとすると$
$a_{n+2}-(p+q)a_{n+1}+pqa_n=0$
$④式の係数を比べて$
\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} p+q=8\\ pq=15\\ \end{array} \right. \] $p,\ q\ は \ \ t^2-8t+15=0\ \ の解であるが、これを④式の特性方程式といいます。$
$これを解いて \quad t=3,\ \ 5$
(i)$\ \ p=3,\ \ q=5 \quad のとき$
$\quad a_{n+2}-3a_{n+1}=5(a_{n+1}-3a_n) $
$\quad a_{n+1}-3a_n=5(a_n-3a_{n-1})=5^2(a_{n-1}-3a_{n-2})=\cdots =5^{n-1}(a_2-3a_1)=5^n$
(ii)$\ \ p=5,\ \ q=3\quad のとき$
$\quad a_{n+2}-5a_{n+1}=3(a_{n+1}-5a_n) $
$\quad a_{n+1}-5a_n=3(a_n-5a_{n-1})=3^2(a_{n-1}-5a_{n-2})=\cdots =3^{n-1}(a_2-5a_1)=3^n$
(i)-(ii)$\ \ より \quad 2a_n=5^n-3^n \qquad a_n=\cfrac{1}{2}(5^n-3^n)$
$③に代入して$
\begin{eqnarray*} b_n &=&\cfrac{1}{2}(5^{n+1}-3^{n+1})-6 \times \cfrac{1}{2}(5^n-3^n)\\ \\ &=&\cfrac{5}{2}5^n-\cfrac{3}{2}3^n-3(5^n-3^n)\\ \\ &=&-\cfrac{1}{2}5^n+\cfrac{3}{2}3^n\\ \\ &=&-\cfrac{1}{2}(5^n-3^{n+1})\\ \end{eqnarray*}
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