東京工業大学 2023年 問題2
$方程式\quad (x^3-x)^2(y^3-y)=86400 \quad を満たす整数の組 \ (x,\ y)\ をすべて求めよ。$
$k=86400\ \ を素因数分解すると \quad k=2^7 \times 3^3 \times 5^2$
$M=(x^3-x)^2=((x-1)x(x+1))^2,\quad N=y^3-y=(y-1)y(y+1) \quad とおくと$
$M,\ N\ はともに連続する \ 3\ 整数の積である。$
$(1)\ \ k\ の因数を用いて、正の連続する\ 3\ 整数をさがすと$
$\qquad 1,\ 2,\ 3 \qquad 2,\ 3,\ 4 \qquad 3,\ 4,\ 5 \qquad 4,\ 5,\ 6 \qquad 8,\ 9,\ 10$
$\quad 以降 \ \ 43,\ 44,\ 45\ \ まで \ k\ の因数を用いて表せない。$
$\quad 次の \ \ 44,\ 45,\ 46\ \ は \ 3\ 数の積が \ 91080\ となって \ 86400\ を超える。$
$したがって、この \ 4\ 組を調べればよい。$
(i)$\ \ 1,\ 2,\ 3\ \ について$
$\quad M=1^2 \times 2^2 \times 3^2 \quad ととると残りの \ k\ の因数は \quad 2^5 \times 3 \times 5^2 \quad でこれを \ 3\ 整数の積で表すことはできない。$
(ii)$\ \ \ 2,\ 3,\ 4\ \ について$
$\quad M=2^2 \times 3^2 \times 4^2 \quad ととると残りの \ k\ の因数は \quad 2 \times 3 \times 5^2 \quad でこれを \ 3\ 整数の積で表すことはできない。$
(iii)$\ \ \ 3,\ 4,\ 5\ \ について$
$\quad M=3^2 \times 4^2 \times 5^2 \quad ととると残りの \ k\ の因数は \quad 2^3 \times 3=2 \times 3 \times 4 \quad と\ 3\ 整数の積で表すことができる。$
(iv)$\ \ \ 4,\ 5,\ 6\ \ のとき$
$\quad M=4^2 \times 5^2 \times 6^2 \quad ととると残りの \ k\ の因数は \quad 2 \times 3=1 \times 2 \times 3 \quad と\ 3\ 整数の積で表すことができる。$
(v)$\ \ \ 8,\ 9,\ 10\ \ について$
$\quad M=8^2 \times 9^2 \times 10^2=2^8 \times 3^4 \times 5^2 \quad であるからこれは不可能。$
$(2)\ \ 負の連続 \ 3\ 整数については \ $(iii),(iv)$\ の正の連続 \ 3\ 整数をもとに調べると$
(vi)$\ \ \ -5,\ -4,\ -3\ \ について$
$\quad M=(-5)^2 \times (-4)^2 \times (-3)^2=3^2 \times 4^2 \times 5^2 \ \ だから \ 3\ 整数の積で表すことができる。$
(vii)$\ \ \ -6,\ -5,\ -4\ \ について$
$\quad M=(-6)^2 \times (-5)^2 \times (-4)^2=4^2 \times 5^2 \times 6^2 \ \ だから \ 3\ 整数の積で表すことができる。$
$以上より、与えられた方程式を満たす整数の組は$
$\qquad (x,\ y)=(4,\ 3),\ (5,\ 2),\ (-4,\ 3),\ (-5,\ 2)\ \ の \ 4\ 通り$
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