東京工業大学(理系) 2022年　問題5


$a\ は \ \ 0 < a < \cfrac{\pi}{4}\ \ を満たす実数とし、f(x)=\cfrac{4}{3}\sin(\cfrac{\pi}{4}+ax)\cos (\cfrac{\pi}{4}-ax)\ \ とする。このとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 次の等式(*)を満たす \ a\ がただ \ 1\ つ存在することを示せ。$
\[\hspace{3em} (*) \quad \int_0^1f(x)dx=1\] \[(2)\ \ 0 \leqq b < c \leqq 1\ \ を満たす実数 \ b,\ c\ について、不等式 \ \ f(b)(c-b) \leqq \int_b^cf(x)dx \leqq f(c)(c-b) \] $\quad が成り立つことを示せ。$
$(3)\ \ 次の試行を考える。$
$\quad [試行]\ n\ 個の数 \ 1,\ 2,\ \cdots ,\ n\ を出目とする、あるルーレットを \ k\ 回まわす。$
$\quad この[試行]において、各 \ i=1,\ 2,\ \cdots , \ n\ について \ i\ が出た回数を \ S_{n,k,i}\ とし、$
\[\hspace{3em}(**) \quad \lim_{k \rightarrow \infty} \cfrac{S_{n,k,i}}{k} =\int_{\scriptsize{\cfrac{i-1}{n}}}^{\scriptsize{\cfrac{i}{n}}} f(x)dx\] $\quad が成り立つとする。このとき、(1)の等式 \ (*)\ が成り立つことを示せ。$
\[(4)\ \ (3)の[試行]において出た数の平均値を \ A_{n,k}\ とし、A_n=\lim_{k \rightarrow \infty} A_{n,k}\ \ とする。\] \[\quad (**)\ が成り立つとき、極限 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{A_n}{n}\ \ を \ a\ を用いて表せ。\]


$(解説)$

$(1)\ \ f(x)\ を簡単にしてから定積分を計算します。a\ がただ \ 1\ つであることを示すには、a\ を \ x\ とおいた関数の$
$\quad 単調性と中間値の定理をつかいます。$
$(2)\ \ 積分区間で \ f(x)\ の単調性をつかいます。$
$(3)\ \ \cfrac{S_{n,k,i}}{k} \ は \ k\ 回の試行で目 \ i\ が出る回数の相対度数だから、その極限値は統計的確率となります。$
$\quad 全事象の確率は \ 1\ をつかいます。$
$(4)\ \ (3)をつかって \ A_n\ を定積分で表し、\cfrac{A_n}{n}\ \ を(2)をつかって上と下から押さえます。最後に区分求積法で$
$\quad 積分して求めます。$

(1)


$\quad f(x)=\cfrac{4}{3}\sin(\cfrac{\pi}{4}+ax)\cos (\cfrac{\pi}{4}-ax)=\cfrac{2}{3}(\sin \cfrac{\pi}{2} + \sin 2ax) =\cfrac{2}{3}(1 + \sin 2ax) \quad だから$

\begin{eqnarray*} \int _0^1 f(x)dx &=&\cfrac{2}{3} \int _0^1 (1 + \sin 2ax)dx\\ \\ &=&\cfrac{2}{3}\big[x-\cfrac{\cos 2ax}{2a}\big] _0^1 \\ \\ &=&\cfrac{2}{3}\big \{(1-\cfrac{\cos 2a}{2a}\big)-\big(-\cfrac{1}{2a}\big)\big\} \\ \\ &=&\cfrac{1}{3}\big (2 + \cfrac{1-\cos 2a}{a}\big)\\ \end{eqnarray*} \[\quad \int _0^1 f(x)dx =1 \quad より \qquad \cfrac{1}{3}\big (2 + \cfrac{1-\cos 2a}{a}\big)=1 \qquad \therefore \ \ a+\cos 2a -1=0\]
$これを満たす \ a\ が \ \ 0 < a \leqq \cfrac{\pi}{4} \ \ にただ \ 1\ つであることを確認するために、次のような関数 \ g(x)\ を考える。$

$\quad g(x)=x+\cos 2x -1 \quad とおくと \quad g'(x)=1-2\sin 2x $

$\quad g'(x)=0 \quad より \quad \sin 2x=\cfrac{1}{2} \qquad 0 < 2x \leqq \cfrac{\pi}{2} \quad で考えると \quad 2x=\cfrac{\pi}{6} \qquad \therefore \ \ x=\cfrac{\pi}{12}$

\[ \qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & \small{\cfrac{\pi}{12}} & \cdots & \small{\cfrac{\pi}{4}}\\ \hline g'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline g(x) & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & \\ \end{array} \qquad g(0)=0,\quad g(\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{\pi}{4}-1 < 0 \]

　
$g(x)\ は \ \ x =\cfrac{\pi}{12}\ \ で極大かつ最大となり、\cfrac{\pi}{12} < x < \cfrac{\pi}{4}\ \ で単調減少であるから$

$中間値の定理から \quad g(a)=0 \ \ となる \ a\ が \ \ \cfrac{\pi}{12} < a < \cfrac{\pi}{4}\ \ にただ \ 1\ つ存在する。$


$(補足)$
\[関数 \ f(x)\ は、区間 \ [0,\ 1] \ で \ f(x) \geqq 0 、かつ \quad \int_0^1f(x)dx=1 \ \ を満たすので確率密度関数になります。\]

(2)


$\quad f(x)= \cfrac{2}{3}(1 + \sin 2ax) \ \ のグラフは右のとおりで、区間 \ (0,\ \cfrac{\pi}{4a})$
$\quad で単調増加である。$

　
$\quad 0 < a \leqq \cfrac{\pi}{4} \quad だから \quad 1 \leqq \cfrac{\pi}{4a}$

$積分区間は \ [b,\ c]\ で、0 \leqq b < c \leqq 1 \leqq \cfrac{\pi}{4a} \quad だからこの区間で \ f(x)\ は$
$単調増加である。したがってこの区間で$

\[\quad f(b) \leqq f(x) \leqq f(c) \quad より \quad \int _b^c f(b)dx \leqq \int _b^c f(x)dx \leqq \int _b^c f(c)dx \]
\[ゆえに \quad f(b)(c-b) \leqq \int _b^c f(x)dx \leqq f(c)(c-b) \]

(3)


$\quad 十分大きい \ k\ に対して、k\ 回の試行で、数字 \ i\ が出たという事象の起こった回数が \ S_{n,k,i}\ であるから$

$\quad 相対度数 \ \ \cfrac{S_{n,k,i}}{k} \ \ は(統計的)確率 \ \ P(X=i)\ と考えてよい。$

\[全事象の確率は \ 1\ であるから \quad \sum _{i=1}^n P(X=i)=\sum _{i=1}^n \cfrac{S_{n,k,i}}{k}=1\] \[とくに \quad k \longrightarrow \infty \ \ としても成りたつから \quad \sum _{i=1}^n \lim _{k \rightarrow \infty}\cfrac{S_{n,k,i}}{k}=1\] \[\quad ここで \quad \lim_{k \rightarrow \infty} \cfrac{S_{n,k,i}}{k} =\int_{\scriptsize{\cfrac{i-1}{n}}}^{\scriptsize{\cfrac{i}{n}}} f(x)dx \quad だから \quad \sum _{i=1}^n \int_{\scriptsize{\cfrac{i-1}{n}}}^{\scriptsize{\cfrac{i}{n}}} f(x)dx = 1\] \[左辺=\int_0^{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} f(x)dx +\int_{\scriptsize{\cfrac{1}{n}}} ^{\scriptsize{\cfrac{2}{n}}} f(x)dx + \cdots + \int_{\scriptsize{\cfrac{n-1}{n}}} ^{\scriptsize{\cfrac{n}{n}}} f(x)dx= \int_0^1f(x)dx \] \[したがって　 \int_0^1f(x)dx =1\]

$(補足)$

\[\lim_{k \rightarrow \infty} \cfrac{S_{n,k,i}}{k} =\int_{\scriptsize{\cfrac{i-1}{n}}}^{\scriptsize{\cfrac{i}{n}}} f(x)dx \ \ の左辺は離散型の確率で、試行回数が十分大きいときは右辺の連続型の確率で表される\] \[ことをいっています。さらに勘違いしそうなことは、このルーレットでどの目が出るかは同様でない(一様でない)\] \[ことです。\ \ P(\cfrac{i-1}{n} \leqq X \leqq \cfrac{i}{n} )=\int_{\scriptsize{\cfrac{i-1}{n}}}^{\scriptsize{\cfrac{i}{n}}} f(x)dx \ \ で定義されています。\]

(4)


\[k\ 回の試行で目 \ i\ が \ S_{n,k,i}\ 回出るから、出た目の合計は \ \ \sum _{i=1}^n i \times S_{n,k,i}\] \[したがって　平均は \ \ A_{n,k}=\sum _{i=1}^n i \times S_{n,k,i} /k\] \[\quad A_n=\lim _{k \rightarrow \infty}A_{n,k}=\lim _{k \rightarrow \infty} \sum _{i=1}^n i \times S_{n,k,i} /k= \sum _{i=1}^n i \times \lim _{k \rightarrow \infty} \cfrac{S_{n,k,i}}{k}= \sum _{i=1}^n i \times \int_{\scriptsize{\cfrac{i-1}{n}}}^{\scriptsize{\cfrac{i}{n}}} f(x)dx\] \[ここで(2)より \quad f(\cfrac{i-1}{n})\cdot \cfrac{1}{n} \leqq \int_{\scriptsize{\cfrac{i-1}{n}}}^{\scriptsize{\cfrac{i}{n}}} f(x)dx \leqq f(\cfrac{i}{n})\cdot \cfrac{1}{n} \quad をつかって\] \[\quad \sum _{i=1}^n i f(\cfrac{i-1}{n})\cdot \cfrac{1}{n} \leqq \sum _{i=1}^n i \int_{\scriptsize{\cfrac{i-1}{n}}}^{\scriptsize{\cfrac{i}{n}}} f(x)dx \leqq \sum _{i=1}^n i f(\cfrac{i}{n})\cdot \cfrac{1}{n}\] $両辺に \ \cfrac{1}{n}\ をかけて$
\[\quad \cfrac{1}{n} \sum _{i=1}^n i f(\cfrac{i-1}{n})\cdot \cfrac{1}{n} \leqq \cfrac{A_n}{n} \leqq \cfrac{1}{n} \sum _{i=1}^n i f(\cfrac{i}{n})\cdot \cfrac{1}{n}\] $n \longrightarrow \infty \quad として、区分求積法をつかうと$
\[\quad 右辺=\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{n} \sum _{i=1}^n \cfrac{i}{n} f(\cfrac{i}{n})=\int _0^1 xf(x)dx\] \begin{eqnarray*} \quad 左辺 &=&\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{n} \sum _{i=1}^n \cfrac{i}{n} f(\cfrac{i-1}{n})\\ \\ &=&\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{n} \sum _{i=0}^{n-1} \cfrac{i+1}{n} f(\cfrac{i}{n})\\ \\ &=&\lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{n} \sum _{i=0}^{n-1} \cfrac{i}{n} f(\cfrac{i}{n})+ \lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{n}\cdot \cfrac{1}{n} \sum _{i=0}^{n-1} f(\cfrac{i}{n})\\ \\ &=&\int _0^1 xf(x)dx + \lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{n} \int _0^1f(x)dx\\ \\ &=&\int _0^1 xf(x)dx + \lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{1}{n} \times 1 \\ \\ &=&\int _0^1 xf(x)dx \\ \end{eqnarray*}
$よって、はさみうちの原理により$

\begin{eqnarray*} \quad \lim_{n \rightarrow \infty} \cfrac{A_n}{n} &=& \int _0^1 xf(x)dx \\ \\ &=&\cfrac{2}{3}\int _0^1 x(1 + \sin 2ax)dx\\ \\ &=&\cfrac{2}{3}\big\{\big[x(x-\cfrac{\cos 2ax}{2a}\big]_0^1 - \int _0^1 (x -\cfrac{\cos 2ax}{2a})dx\big\}\\ \\ &=&\cfrac{2}{3}\big\{1-\cfrac{\cos 2a}{2a} - \big[\cfrac{x^2}{2} -\cfrac{\sin 2ax}{4a^2}\big]_0^1\big\}\\ \\ &=&\cfrac{2}{3}\big\{1-\cfrac{\cos 2a}{2a} - \big(\cfrac{1}{2} -\cfrac{\sin 2a}{4a^2}\big)\big\}\\ \\ &=&\cfrac{1}{3}-\cfrac{\cos 2a}{3a} + \cfrac{\sin 2a}{6a^2}\\ \end{eqnarray*} $\qquad ただし \quad a+\cos 2a -1=0$



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