東京工業大学(理系) 2022年 問題4
$a\ は正の実数とする。複素数 \ z\ が \ |z-1|=a\ かつ \ z \ne \cfrac{1}{2}\ を満たしながら動くとき、複素数平面上の$
$点 \ w=\cfrac{z-3}{1-2z}\ が描く図形を \ K\ とする。このとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ K\ が円となるための \ a\ の条件を求めよ。また、そのとき \ K\ の中心が表す複素数と \ K\ の半径を、$
$\quad それぞれ \ a\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ a\ が(1)の条件を満たしながら動くとき、虚軸に平行で円Kの直径となる線分が通過する領域を$
$\quad 複素数平面上に図示せよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ w\ の式を \ z\ について解いて、z\ の式に代入します。 2\ 定点からの距離に比が一定な点の軌跡は$
$\quad アポロニウスの円になります。$
$(2)\ \ 円 \ k\ の直径となることから \ y\ 成分の範囲がわかります。見通しをもって \ a\ を消去します。$
(1)
$w=\cfrac{z-3}{1-2z} \quad より \quad (1-2z)w=z-3 \qquad z(2w+1)=w+3 \qquad z=\cfrac{w+3}{2w+1}$
$|z-1|=a \quad に代入して \quad \big|\cfrac{w+3}{2w+1}-1\big|=a \qquad \big|\cfrac{-w+2}{2w+1}\big|=a$
$|w-2|=a|2w+1| \qquad \therefore \ \ |w-2|=2a|w+\cfrac{1}{2}|$
$P(w),\ \ A(2),\ \ B(-\cfrac{1}{2})\ \ とおくと \quad PA=2aPB \quad だから \quad 2a \ne 1 \quad すなわち \quad a \ne \cfrac{1}{2} \ \ のとき$
$2 \ 定点からの距離の比が \ \ 2a:1\ \ と一定だから \ \ 円 \ (アポロニウスの円)\ を表す。$
$w=x+yi\ \ (x,\ y\ は実数)\ とおいて \quad PA^2=4a^2PB^2 \quad に代入すると$
$(x-2)^2+y^2=4a^2\{(x+\cfrac{1}{2})^2 +y^2\}$
$(4a^2-1)x^2+4(a^2+1)x+(4a^2-1)y^2=4-a^2$
$x^2 +\cfrac{4(a^2+1)}{4a^2-1}x+y^2=\cfrac{4-a^2}{4a^2-1}$
$\big(x+\cfrac{2(a^2+1)}{4a^2-1}\big)^2+y^2=\cfrac{4-a^2}{4a^2-1} + \big(\cfrac{2(a^2+1)}{4a^2-1}\big)^2$
$\big(x+\cfrac{2(a^2+1)}{4a^2-1}\big)^2+y^2=\cfrac{25a^2}{(4a^2-1)^2}$
$したがって \quad 中心 \ \ -\cfrac{2(a^2+1)}{4a^2-1} ,\qquad 半径 \ \ \cfrac{5a}{|4a^2-1|}$
(2)
$虚軸に平行で円 \ K\ の直径となる線分は \quad x=-\cfrac{2(a^2+1)}{4a^2-1} \quad ただし \quad |y| \leqq \cfrac{5a}{|4a^2-1|}$
$x=-\cfrac{2(a^2+1)}{4a^2-1}\quad より \quad -2x=\cfrac{4(a^2+1)}{4a^2-1}=1+\cfrac{5}{4a^2-1} \qquad \therefore \ \ -\cfrac{2x+1}{5}=\cfrac{1}{4a^2-1}$
$したがって$
$4\big(\cfrac{y}{5}\big)^2 - \big(\cfrac{2x+1}{5}\big)^2 \leqq \cfrac{4a^2}{(4a^2-1)^2}- \cfrac{1}{(4a^2-1)^2}=\cfrac{1}{4a^2-1}=-\cfrac{2x+1}{5}$
$(2x+1)^2-5(2x+1)-4y^2 \geqq 0$
$4x^2-6x-4y^2 \geqq 4$
$4(x-\cfrac{3}{4})^2-4y^2 \geqq \cfrac{25}{4}$
$(x-\cfrac{3}{4})^2-y^2 \geqq \cfrac{25}{16}$
$ただし、x=-\cfrac{2(a^2+1)}{4a^2-1}\quad より \quad (4a^2-1)x=-2(a^2+1)\quad a^2(4x+2)=x-2$
$\qquad a^2=\cfrac{x-2}{4x+2} >0 \qquad (x-2)(4x+2) > 0 \qquad \therefore x<-\cfrac{1}{2},\quad x > 2$
$求める領域は右図のとおり。境界は双曲線でこれを含むが、x \ne -\cfrac{1}{2},\ \ 2$
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