東京工業大学(理系) 2021年 問題4
$S\ を、座標空間内の原点 \ O\ を中心とする半径 \ 1\ の球面とする。S\ 上を動く点 \ A,\ B,\ C,\ D\ に対して$
$\qquad F=2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2)\quad とおく。以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \vec{OA}=\vec{a},\ \ \vec{OB}=\vec{b},\ \ \vec{OC}=\vec{c},\ \ \vec{OD}=\vec{d}\ とするとき、\vec{a},\ \ \vec{b},\ \ \vec{c},\ \ \vec{d}\ によらない定数 \ k\ によって$
$\qquad F=k(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-3\vec{d})\ \ と書けることを示し、定数 \ k\ を求めよ。$
$(2)\ \ 点 \ A,\ B,\ C,\ D\ が球面 \ S\ 上を動くときの、F\ の最大値 \ M\ を求めよ。$
$(3)\ \ 点 \ C\ の座標が \ (-\cfrac{1}{4},\ \cfrac{\sqrt{15}}{4},\ 0),\ 点 \ D\ の座標が \ (1,\ 0,\ 0)\ であるとき、F=M\ となる \ S\ 上の点 \ A,\ B\ の$
$\qquad 組をすべて求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ F\ を \ AB^2=|\vec{AB}|^2\ などをつかってベクトルで表します。$
$(2)\ \ (1)の結果が使われますので、\vec{p}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\quad \ \ とまとめましょう。$
$(3)\ \ F=M \ となるとは、F\ が最大値をとるときですので、\vec{a}\ と \ \vec{b}\ の位置関係がわかります。$
(1)
$\quad 点A,\ B,\ C,\ D\ は原点 \ O\ 中心、半径 \ 1\ の球面上の点だから \quad |\vec{a}|=1,\ \ |\vec{b}|=1,\ \ |\vec{c}|=1,\ \ |\vec{d}|=1$
\begin{eqnarray*} F &=&2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2)\\ \\ &=&2(|\vec{b}-\vec{a}|^2+|\vec{c}-\vec{b}|^2+|\vec{a}-\vec{c}|^2)-3(|\vec{d}-\vec{a}|^2+|\vec{d}-\vec{b}|^2+|\vec{d}-\vec{c}|^2)\\ \\ &=&4(|\vec{a}|^2+ |\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 -\vec{a} \cdot \vec{b}- \vec{b} \cdot \vec{c}-\vec{c} \cdot \vec{a})-3(3|\vec{d}|^2+ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 -2\vec{a} \cdot \vec{d}- 2\vec{b} \cdot \vec{d}-2\vec{c} \cdot \vec{d})\\ \\ &=&|\vec{a}|^2+ |\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 -9|\vec{d}|^2-4(\vec{a} \cdot \vec{b}+ \vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})+6(\vec{a} \cdot \vec{d}+\vec{b} \cdot \vec{d}+\vec{c} \cdot \vec{d})\\ \\ &=&-6 -4(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) +6(\vec{a} +\vec{b}+ \vec{c}) \cdot \vec{d} \\ \end{eqnarray*} $一方$
\begin{eqnarray*} & &(\vec{a} +\vec{b}+ \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} -3\vec{d})\\ \\ &=&|\vec{a} +\vec{b}+ \vec{c}|^2-3(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{d}\\ \\ &=&|\vec{a}|^2+ |\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 +2(\vec{a} \cdot \vec{b}+ \vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})-3(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{d}\\ \\ &=&3+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+ \vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})-3(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{d}\\ \\ &=&-\cfrac{1}{2}\{-6 -4(\vec{a} \cdot \vec{b}+ \vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) +6(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{d}\}\\ \\ &=&-\cfrac{1}{2}F\\ \end{eqnarray*}
$よって F=-2(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-3\vec{d})\ \ と書けるから、k=-2$
(2)
$\quad \vec{p}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\quad とおくと$
\begin{eqnarray*} F &=&-2\vec{p} \cdot (\vec{p} -3\vec{d})\\ \\ &=&-2(|\vec{p}|^2 -3\vec{p} \cdot \vec{d})\\ \\ &=&-2\big\{|\vec{p}|^2 -3\vec{p} \cdot \vec{d}+\cfrac{9}{4}|\vec{d}|^2- \cfrac{9}{4}|\vec{d}|^2 \big\}\\ \\ &=&-2|\vec{p}-\cfrac{3}{2} \vec{d}|^2 +\cfrac{9}{2}|\vec{d}|^2 \\ \\ &=&-2|\vec{p}-\cfrac{3}{2} \vec{d}|^2 +\cfrac{9}{2}\\ \end{eqnarray*} $\quad よって \quad \vec{p}=\cfrac{3}{2} \vec{d} \quad のとき \ F\ は最大値 \ \ M=\cfrac{9}{2}\ \ をとる。$
(3)
$\quad (2)より \quad F=M \ \ となるのは \ \ \vec{p}=\cfrac{3}{2} \vec{d} \ \ のときだから \quad \vec{a} +\vec{b}+ \vec{c} =\cfrac{3}{2} \vec{d}$
$\qquad \vec{c}=(-\cfrac{1}{4},\ \cfrac{\sqrt{15}}{4},\ 0),\quad \vec{d}=(1,\ 0,\ 0)\quad より$
$\qquad \vec{a} +\vec{b}=\cfrac{3}{2} \vec{d}-\vec{c}= \cfrac{3}{2}(1,0,0)-(-\cfrac{1}{4},\cfrac{\sqrt{15}}{4},0)=(\cfrac{7}{4},-\cfrac{\sqrt{15}}{4},0)$
$\qquad 大きさは \hspace{5em} |\vec{a} +\vec{b}|^2=(\cfrac{7}{4})^2+(-\cfrac{\sqrt{15}}{4})^2+0^2$
$\qquad 左辺を展開して \qquad |\vec{a}|^2 +2\vec{a} \cdot \vec{b} +|\vec{b}|^2=\cfrac{49}{16}+\cfrac{15}{16}$
$\qquad 1+2\vec{a} \cdot \vec{b} +1=4$
$\qquad \therefore \ \ \vec{a}\cdot \vec{b}=1$
$\qquad \vec{a}\ \ と \ \ \vec{b}\ \ のなす角を \ \theta \ とすると \quad |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =1 \qquad \therefore \ \ \cos \theta =1 \quad より \quad \theta =0 \qquad よって \vec{a}=\vec{b}$
$\qquad 2\vec{a}=(\cfrac{7}{4},\ -\cfrac{\sqrt{15}}{4},\ 0)\quad より \quad \vec{a}=\vec{b}=(\cfrac{7}{8},\ -\cfrac{\sqrt{15}}{8},\ 0)$
$\quad したがって \qquad A\ (\cfrac{7}{8},\ -\cfrac{\sqrt{15}}{8},\ 0),\quad B\ (\cfrac{7}{8},\ -\cfrac{\sqrt{15}}{8},\ 0)$
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