東京工業大学　2019年前期　問題5

$a=\cfrac{2^8}{3^4}\ \ として、数列 \ \ b_k=\cfrac{(k+1)^{k+1}}{a^kk!} \ \ (k=1,2,3,\cdots)\ を考える。$
$(1)\ \ 関数 \ f(x)=(x+1)\log \big(1+\cfrac{1}{x}\big)\ \ は \ x>0 \ で減少することを示せ。$
$(2)\ \ 数列 \ \{b_k\}\ の項の最大値Mを既約分数で表し、b_k=M \ となるkをすべて求めよ。$


$(2)は(1)をどう結びつけるかがポイントとなります。$
$また\{b_k\}の最大値をどう処理するかですが、ヒントは \ b_k \ の分母の \ k! \ にあります。$

(1)

\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\log \big(1+\cfrac{1}{x}\big)+(x+1) \times \cfrac{-\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x}}\\ &=&\log \big(1+\cfrac{1}{x}\big)-(x+1)\times \cfrac{1}{x(x+1)}\\ &=&\log \big(1+\cfrac{1}{x}\big)-\cfrac{1}{x}\\ \end{eqnarray*} $\qquad \cfrac{1}{x}=t \ \ (t>0)\ とおき, \quad g(t)=\log (1+t)-t \ \ とおくと$
$\qquad g'(t)=\cfrac{1}{1+t}-1=-\cfrac{t}{1+t} < 0 \quad よって \ \ g(t)は単調減少する。$

$\qquad g(0)=0 \ \ より \quad g(t)<0$

$\quad \therefore f'(x) < 0 \ \ となって \ \ f(x)\ は \ x >0 \ で単調減少する。$


(2)


$\quad \cfrac{b_k}{b_{k-1}}=\cfrac{(k+1)^{k+1}}{a^kk!}\times \cfrac{a^{k-1}(k-1)!}{k^k}=\cfrac{(k+1)^{k+1}}{akk^k}=\cfrac{(k+1)^{k+1}}{ak^{k+1}} =\cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{k}\big)^{k+1}$

$したがって$
\begin{eqnarray*} \cfrac{b_k}{b_1} &=&\cfrac{b_2}{b_1}\times \cfrac{b_3}{b_2}\times \cdots \times \cfrac{b_k}{b_{k-1}}\\ \\ &=&\cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{2}\big)^3 \times \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{3}\big)^4 \times \cdots \times \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{k}\big)^{k+1}\\ \end{eqnarray*}
$\hspace{2em} b_1=\cfrac{2^2}{a}=\cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{1}\big)^2 \ \ だから$

$\hspace{2em} b_k=\cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{1}\big)^2 \times \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{2}\big)^3 \times \cdots \times \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{k}\big)^{k+1}$

$\hspace{3em}(これで、b_k \ を階乗を用いずに表現できました。)$

$(1)より、f(x)=(x+1)\log \big(1+\cfrac{1}{x}\big)=\log \big(1+\cfrac{1}{x}\big)^{x+1} \ \ は \ \ x > 0 \ \ で減少するから \quad \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{k}\big)^{k+1} \ \ も減少する。$

$\hspace{3em}(ここに(1)の結果が使われました。)$

$a=\cfrac{2^8}{3^4}=\big(\cfrac{4}{3}\big)^4= \big(1+\cfrac{1}{3}\big)^4 \quad より \quad \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{3}\big)^4= 1 \quad に注意して$

$\quad k=1,2 \ \ のとき \quad \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{k}\big)^{k+1}> 1$

$\quad k=4,\cdots \ \ のとき \quad \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{k}\big)^{k+1}< 1$

$したがって$

$\quad b_2=b_1 \times \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{2}\big)^3 > b_1$

$\quad b_3=b_2 \times \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{3}\big)^4 = b_2$

$\quad b_4=b_3 \times \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{4}\big)^5 < b_3$

$\hspace{4em} \vdots $

$\therefore b_1 < b_2 =b_3 >b_4 >\cdots $

$すなわち、k=2,3 \ \ のとき \ b_k \ は最大となり、最大値は$
\begin{eqnarray*} M &=&b_2\\ &=&\cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{1}\big)^2 \times \cfrac{1}{a}\big(1+\cfrac{1}{2}\big)^3 \\ &=&\cfrac{3^4}{2^8} \times 2^2 \times \cfrac{3^4}{2^8} \times \cfrac{3^3}{2^3}\\ &=&\cfrac{3^{11}}{2^{17}}\\ \end{eqnarray*}


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