東京工業大学　2019年前期　問題1

$(1)\ \ h>0 とする。座標平面上の点O(0,0),点P(h,s),点Q(h,t)に対して、三角形OPQの面積をSとする。$
$\quad ただし、s < t \ \ とする。三角形OPQの辺OP,OQ,PQの長さをそれぞれ \ p,\ q,\ rとするとき、不等式$
$\hspace{4em} p^2+q^2+r^2 \geqq 4\sqrt{3}S$
$\quad が成り立つことを示せ。また、等号が成立するときの \ s,\ tの値を求めよ。$
$(2)\ \ 四面体ABCDの表面積をT,辺BC,CA,ABの長さをそれぞれ \ a,\ b,\ cとし、辺AD,BD,CDの長さを$
$\quad それぞれ \ l,\ m,\ n\ とする。このとき、不等式$
$\hspace{4em} a^2+b^2+c^2+l^2+m^2+n^2 \geqq 2\sqrt{3}T$
$\quad が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのは四面体ABCDがどのような四面体のときか答えよ。$


$毎年出題される不等式の証明問題ですが、これもよく考えられています。よく思いつくなと感心させられます。$
$(2)は(1)を利用します。$

　

(1)

$\hspace{3em} p^2+q^2+r^2 -4\sqrt{3}S$
\begin{eqnarray*} &=&p^2+q^2+r^2 -4\sqrt{3} \times \cfrac{1}{2}hr\\ &=&(h^2+s^2)+(h^2+t^2)+(t-s)^2-2\sqrt{3}h(t-s)\\ \\ &=&2\big\{h^2-\sqrt{3}(t-s)h+s^2+t^2-ts\big\}\\ \\ &=&2\Big\{\big(h-\cfrac{\sqrt{3}(t-s)}{2}\big)^2-\cfrac{3}{4}(t-s)^2+s^2+t^2-ts\Big\}\\ \\ &=&2\Big\{\big(h-\cfrac{\sqrt{3}(t-s)}{2}\big)^2+\cfrac{1}{4}(t^2+2ts+s^2)\Big\}\\ \\ &=&2\big(h-\cfrac{\sqrt{3}(t-s)}{2}\big)^2+\cfrac{1}{2}(t+s)^2\\ & \geqq &0 \end{eqnarray*} $\hspace{3em}\therefore p^2+q^2+r^2 \geqq 4\sqrt{3}S$

$ただし等号は、h=\cfrac{\sqrt{3}(t-s)}{2} \ \ かつ \ \ s=-t \ \ のとき、すなわち \ \ t=\cfrac{h}{\sqrt{3}},\qquad s=-\cfrac{h}{\sqrt{3}} \ \ のとき$

$このとき$

$\quad S=\cfrac{1}{2}hr=\cfrac{1}{2}h(t-s)=\cfrac{1}{2}h \times \cfrac{2h}{\sqrt{3}}=\cfrac{h^2}{\sqrt{3}} \ \ より$

$\quad h^2=\sqrt{3}S ,\quad h > 0 \quad だから \quad h=\sqrt [4]{3}\sqrt{S}$

$よって等号は、t=\cfrac{h}{\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt[4]{3}\sqrt{S}}{\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{S}}{\sqrt[4]{3}},\qquad s=-t=-\cfrac{\sqrt{S}}{\sqrt[4]{3}}\ \ のときである。$

$なおこのとき$

$\quad PQ^2=\big(\cfrac{2}{\sqrt{3}}h\big)^2=\cfrac{4}{3}h^2$
$\quad OP^2=h^2+(-t)^2=h^2+\cfrac{h^2}{3}=\cfrac{4}{3}h^2$
$\quad OQ^2=h^2+t^2=h^2+\cfrac{h^2}{3}=\cfrac{4}{3}h^2$

$よって、PQ=OP=OQ \ \ となり、△OPQは正三角形である。$

(2)


　
$(1)で△OPQ についての不等式$
$\hspace{3em} p^2+q^2+r^2 \geqq 4\sqrt{3}S$
$は、3辺の長さと面積のみで定まる関係式だから、三角形の位置や$
$向きには無関係である。$
$この関係式を四面体ABCDの4つの面に適用すると$

$\hspace{3em}$(i)$\ \ a^2+b^2+c^2 \geqq 4\sqrt{3}△ABC$
$\hspace{3em}$(ii)$\ \ n^2+l^2+b^2 \geqq 4\sqrt{3}△ACD$
$\hspace{3em}$(iii)$\ \ m^2+c^2+l^2 \geqq 4\sqrt{3}△ADB$
$\hspace{3em}$(iv)$\ \ n^2+m^2+a^2 \geqq 4\sqrt{3}△BCD$

$これらを辺々加えて$

$\qquad 2(a^2+b^2+c^2+l^2+m^2+n^2) \geqq 4\sqrt{3}(△ABC+ △ACD+△ADB+△BCD)$

$右辺の面積の和はTだから$

$\qquad a^2+b^2+c^2+l^2+m^2+n^2 \geqq 2\sqrt{3}T$

$ただし、等号は4つの面がすべて正三角形のときだから、四面体ABCDは正四面体である。$



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