東京工業大学　2018年前期　問題２

$次の問いに答えよ。$
$(1)　35x+91y+65z=3 \ を満たす整数の組(x,y,z) \ を1組求めよ。$
$(2)　35x+91y+65z=3 \ を満たす整数の組(x,y,z) \ の中でx^2+y^2の値が最小となるもの、$
$　　およびその最小値を求めよ。$

$3元1次不定方程式ですので、数Aの教科書には載っていません。$
$解き方はほとんど同じですが、係数をどう見るかで4つの解法を書きました。$
$なお、ここでは整数a,bの最大公約数を(a,b)とかくことにします。$

$解法１　係数を考慮しない最も一般的な解き方$

$(1)$
$35x+91y+65z=3 　の最も小さい係数でくくります。$
$35(x+2y+z)+21y+30z=3$
$\hspace{1em} x+2y+z=u \quad (uは整数) とおく\hspace{5em} (1)$
$35u+21y+30z=3　同様に繰り返します。$
$21(y+z+u)+9z+14u=3$
$\hspace{1em} y+z+u=v \quad (vは整数) とおく \hspace{6em} (2)$
$21v+9z+14u=3$
$9(z+u+2v)+5u+3v=3$
$\hspace{1em} z+u+2v=w \quad (wは整数) とおく \hspace{5em} (3)$
$9w+5u+3v=3$
$3(3w+v-1)+5u=0$
$\hspace{1em} (3,5)=1 \quad (3と5は互いに素)だから$
$3w+v-1=5k,\quad u=-3k \quad (kは整数)とおける。$
$\therefore v=-3w+5k+1$
$\hspace{1em} (3)に代入して$
$z+(-3k)+2(-3w+5k+1)=w$
$\therefore z=7w-7k-2$
$\hspace{1em} (2)に代入して$
$y+(7w-7k-2)+(-3k)=-3w+5k+1$
$\therefore y=-10w+15k+3$
$\hspace{1em} (1)に代入して$
$x+2(-10w+15k+3)+(7w-7k-2)=-3k$
$\therefore x=13w-26k-4$
$よって$
$x=13w-26k-4, \quad y=-10w+15k+3, \quad z=7w-7k-2$

$これで一般解が求まりましたが、とくに$
$w=0,\quad k=0 \ とおくと　x=-4,\ y=3,\ \ z=-2$
$w=2,\quad k=1 \quad とおくと　x=-4,\ y=-2,\ z=5$


$(2)$
$x^2+y^2=(13w-26k-4)^2+(-10w+15k+3)^2$
$\hspace{3em} =\{13(w-2k)-4\}^2+\{5(-2w+3k)+3\}^2$
$\hspace{1em} w-2k=s, \ -2w+3k=t 　\quad (s,\ t は整数)とおくと$
$x^2+y^2=(13s-4)^2+(5t+3)^2$
$これが最小となるs,\ tは　s=0,t=-1 \ であることは明らかです。$
$よって最小値は　(-4)^2+(-2)^2=20$
$このとき$
$w-2k=0,\ -2w+3k=-1 　を解いて　w=2,\ k=1$
$つまり　x=-4,\ y=-2,\ z=5 　のときです。$

$解法2　係数を一部考慮した解き方$

(1)
$35x+91y+65z=3 $
$35x+13(7y+5z)=3$
$\hspace{1em} 7y+5z=u \quad (uは整数)　とおく \hspace{3em}(1)$
$35x+13u=3 \hspace{12em} (2) $
$35x+13u=1 　の特殊解は　x=3,\ u=-8 \ であるから$
$35 \times 3+13 \times (-8)=1 $
$\hspace{1em} 両辺を3倍して$
$35 \times 9+13 \times (-24)=3 \hspace{8em} (3)$
$\hspace{1em} (2)-(3)$
$35(x-9)+13(u+24)=0$
$\hspace{1em} (35,13)=1 　だから$
$x-9=13k,\ u+24=-35k \quad (kは整数)とおける。$
$\therefore x=13k+9,\ u=-35k-24$
$\hspace{1em} (1)に代入して$
$7y+5z=-35k-24$
$7(y+5k)+5(z+5)=1 $
$\hspace{1em} y+5k=l,\ z+5=m 　とおく \hspace{5em} (4)$
$7l+5m=1 \hspace{14em} (5)$
$\hspace{1em} 特殊解は　l=-2,\ m=3 であるから$
$7 \times (-2)+5 \times 3=1 \hspace{10em}(6)$
$\hspace{1em} (5)-(6)$
$7(l+2)+5(m-3)=0$
$\hspace{1em} (7,5)=1 だから$
$l+2=5n,\ m-3=-7n \quad (nは整数) 　とおける。$
$l=5n-2,\ m=-7n+3 $
$\hspace{1em} (4)に代入して$
$y+5k=5n-2,\ z+5=-7n+3$
$\therefore y=-5k+5n-2,\ z=-7n-2$
$よって$
$\hspace{1em} x=13k+9, \ y=-5k+5n-2, \ z=-7n-2$

$これが一般解ですが、とくに$
$\hspace{1em} k=-1,\ n=0 　とおくと　x=-4,\ y=3,\ z=-2$
$\hspace{1em} k=-1,\ n=-1 　とおくと　x=-4,\ y=-2,\ z=5$

$(2)$

$x^2+y^2=(13k+9)^2+(-5k+5n-2)^2$
$\hspace{3em} =(13k+9)^2+\{5(-k+n)-2\}^2$
$\hspace{1em} -k+n=p \quad (pは整数)　とおくと$
$x^2+y^2=(13k+9)^2+(5p-2)^2$
$\hspace{1em} これが最小となる \ k,p \ は \ k=-1,\ p=0 であることは明らかです。$
$\hspace{1em} よって最小値は　(-4)^2+(-2)^2=20$
$このとき　 n=-1 \ となるから$
$\hspace{1em} x=-13+9=-4$
$\hspace{1em} y=-5 \times (-1)+5 \times (-1)-2=-2$
$\hspace{1em} z=-7 \times (-1)-2=5$


$解法3　係数をうまく利用した解き方$

$おそらく出題者はこの解答を期待したと思われます。$
$(1)$
$35x+91y+65z=3 　は$
$5\times 7x+7 \times 13y+5 \times 13z=3 　であることに注意して$
(i)
$35x+13(7y+5z)=3 　と変形して$
$\hspace{1em} 7y+5z=u \quad (uは整数) とおく$
$35x+13u=3 \hspace{9em} (1) $
$\hspace{1em} 35x+13u=1 \ の特殊解は \ x=3,\ u=-8 　であるから$
$35 \times 3+13 \times (-8)=1 $
$\hspace{1em} 両辺を3倍して$
$35 \times 9+13 \times (-24)=3 \hspace{5em} (2)$
$\hspace{1em} (1)-(2)$
$35(x-9)+13(u+24)=0$
$\hspace{1em} (35,13)=1 　だから　x-9=13k \quad (kは整数)とおける。$
$x=13k+9=13(k+1)-4$
$\hspace{1em} k+1をあらためてkとおくと$
$\hspace{1em} x=13k-4$

(ii)
$5(7x+13z)+91y=3 　と変形して$
$\hspace{1em} 7x+13z=v \quad (vは整数) とおく$
$5v+91y=3 \hspace{9em} (3) $
$\hspace{1em} 5v+91y=1 　の特殊解は　v=-18,\ y=1 であるから$
$5 \times (-18)+91 \times 1=1 $
$\hspace{1em} 両辺を3倍して$
$5 \times (-54)+91 \times 3=3 \hspace{5em} (4)$
$\hspace{1em} (3)-(4)$
$5(v+54)+91(y-3)=0$
$\hspace{1em} (5,91)=1 　だから　y-3=5l \quad (lは整数)とおける。$
$y=5l+3=5(l+1)-2$
$\hspace{1em} l+1をあらためてlとおくと$
$\hspace{1em} y=5l-2$

(iii)
$7(5x+13y)+65z=3 と変形して$
$\hspace{1em} 5x+13y=w \quad (wは整数) とおく$
$7w+65z=3 \hspace{10em} (5)$
$\hspace{1em} 7w+65z=1 　の特殊解は　w=28,\ z=-3 \ であるから$
$7 \times 28+65 \times (-3)=1 $
$\hspace{1em} 両辺を3倍して$
$7 \times 84+65 \times (-9)=3 \hspace{5em} (6)$
$\hspace{1em} (5)-(6)$
$7(w-84)+65(z+9)=0$
$\hspace{1em} (7,65)=1 　だから　 z+9=7m \quad (mは整数) とおける。$
$z=7m-9=7(m-1)-2$
$\hspace{1em} m-1をあらためてmとおくと$
$\hspace{1em} z=7m-2$

$よって　 x=13k-4 ,\ y=5l-2 , \ z=7m-2$
$ただし$
$35x+91y+65z=3 　だから$
$35(13k-4)+91(5l-2)+65(7m-2)=3$
$455(k+l+m)=455$
$\therefore k+l+m=1$

$例えば$
$\hspace{1em} k=0,l=1,m=0 　とすると　 x=-4,y=3,z=-2　　が得られる。$

(2)

$x^2+y^2=(13k-4)^2+(5l-2)^2$
$これが最小となる \ k,l \ は k=0,\ l=0 \ であることは明らかです。$
$よって　最小値は　(-4)^2+(-2)^2=20$
$このとき m=1\ となるから$
$\hspace{1em} x=-4,\ y=-2,\ z=5$

$解法4　合同式をつかった最もエレガントな解き方$

$解法3を合同式を使って書き直しただけのものですが、この解き方は高校の教科書のレベルを$
$超えますのであくまで参考程度にしてください。$

(1)
$35x+91y+65z=3 　の係数が$
$5\times 7x+7 \times 13y+5 \times 13z=3\ であることに注意して$

(i)$\hspace{1em} 13を法として$
$35x \equiv 3$
$(2 \times 13+9)x \equiv 3$
$9x \equiv 3$
$\hspace{1em} (3,13)=1 　だから両辺を3で割って$
$3x \equiv 1$
$\therefore x \equiv -4$
$よって　 x=13k-4 \quad (kは整数)$

(ii)$\hspace{1em} 5を法として$
$91y \equiv 3$
$(5 \times 18+1)y \equiv -2$
$y \equiv -2$
$よって　 y=5l-2 \quad (lは整数)$

(iii)$\hspace{1em} 7を法として$
$65z \equiv 3$
$(7 \times 9+2)z \equiv 3$
$2z \equiv 3$
$\therefore z \equiv -2$
$よって　 z=7m-2 \quad (mは整数)$

$この後は解法3と同じですので省略します。$



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