東京工業大学 2018年前期 問題2

 次の問いに答えよ。
$(1) 35x+91y+65z=3 \ を満たす整数の組(x,y,z) \ を1組求めよ。$
$(2) 35x+91y+65z=3 \ を満たす整数の組(x,y,z) \ の中でx^2+y^2の値が最小となるもの、$
  およびその最小値を求めよ。

$3元1次不定方程式ですので、数Aの教科書には載っていません。$
解き方はほとんど同じですが、係数をどう見るかで4つの解法を書きました。
$なお、ここでは整数a,bの最大公約数を(a,b)とかくことにします。$

解法1 係数を考慮しない最も一般的な解き方

(1)
$35x+91y+65z=3  の最も小さい係数でくくります。$
$35(x+2y+z)+21y+30z=3$
$\hspace{1em} x+2y+z=u \quad (uは整数) とおく\hspace{5em} (1)$
$35u+21y+30z=3 同様に繰り返します。$
$21(y+z+u)+9z+14u=3$
$\hspace{1em} y+z+u=v \quad (vは整数) とおく \hspace{6em} (2)$
$21v+9z+14u=3$
$9(z+u+2v)+5u+3v=3$
$\hspace{1em} z+u+2v=w \quad (wは整数) とおく \hspace{5em} (3)$
$9w+5u+3v=3$
$3(3w+v-1)+5u=0$
$\hspace{1em} (3,5)=1 \quad (3と5は互いに素)だから$
$3w+v-1=5k,\quad u=-3k \quad (kは整数)とおける。$
$\therefore v=-3w+5k+1$
$\hspace{1em} (3)に代入して$
$z+(-3k)+2(-3w+5k+1)=w$
$\therefore z=7w-7k-2$
$\hspace{1em} (2)に代入して$
$y+(7w-7k-2)+(-3k)=-3w+5k+1$
$\therefore y=-10w+15k+3$
$\hspace{1em} (1)に代入して$
$x+2(-10w+15k+3)+(7w-7k-2)=-3k$
$\therefore x=13w-26k-4$
よって
$x=13w-26k-4, \quad y=-10w+15k+3, \quad z=7w-7k-2$

これで一般解が求まりましたが、とくに
$w=0,\quad k=0 \ とおくと x=-4,\ y=3,\ \ z=-2$
$w=2,\quad k=1 \quad とおくと x=-4,\ y=-2,\ z=5$


(2)
$x^2+y^2=(13w-26k-4)^2+(-10w+15k+3)^2$
$\hspace{3em} =\{13(w-2k)-4\}^2+\{5(-2w+3k)+3\}^2$
$\hspace{1em} w-2k=s, \ -2w+3k=t  \quad (s,\ t は整数)とおくと$
$x^2+y^2=(13s-4)^2+(5t+3)^2$
$これが最小となるs,\ tは s=0,t=-1 \ であることは明らかです。$
$よって最小値は (-4)^2+(-2)^2=20$
このとき
$w-2k=0,\ -2w+3k=-1  を解いて w=2,\ k=1$
$つまり x=-4,\ y=-2,\ z=5  のときです。$

解法2 係数を一部考慮した解き方

(1)
$35x+91y+65z=3 $
$35x+13(7y+5z)=3$
$\hspace{1em} 7y+5z=u \quad (uは整数) とおく \hspace{3em}(1)$
$35x+13u=3 \hspace{12em} (2) $
$35x+13u=1  の特殊解は x=3,\ u=-8 \ であるから$
$35 \times 3+13 \times (-8)=1 $
$\hspace{1em} 両辺を3倍して$
$35 \times 9+13 \times (-24)=3 \hspace{8em} (3)$
$\hspace{1em} (2)-(3)$
$35(x-9)+13(u+24)=0$
$\hspace{1em} (35,13)=1  だから$
$x-9=13k,\ u+24=-35k \quad (kは整数)とおける。$
$\therefore x=13k+9,\ u=-35k-24$
$\hspace{1em} (1)に代入して$
$7y+5z=-35k-24$
$7(y+5k)+5(z+5)=1 $
$\hspace{1em} y+5k=l,\ z+5=m  とおく \hspace{5em} (4)$
$7l+5m=1 \hspace{14em} (5)$
$\hspace{1em} 特殊解は l=-2,\ m=3 であるから$
$7 \times (-2)+5 \times 3=1 \hspace{10em}(6)$
$\hspace{1em} (5)-(6)$
$7(l+2)+5(m-3)=0$
$\hspace{1em} (7,5)=1 だから$
$l+2=5n,\ m-3=-7n \quad (nは整数)  とおける。$
$l=5n-2,\ m=-7n+3 $
$\hspace{1em} (4)に代入して$
$y+5k=5n-2,\ z+5=-7n+3$
$\therefore y=-5k+5n-2,\ z=-7n-2$
よって
$\hspace{1em} x=13k+9, \ y=-5k+5n-2, \ z=-7n-2$

これが一般解ですが、とくに
$\hspace{1em} k=-1,\ n=0  とおくと x=-4,\ y=3,\ z=-2$
$\hspace{1em} k=-1,\ n=-1  とおくと x=-4,\ y=-2,\ z=5$

(2)

$x^2+y^2=(13k+9)^2+(-5k+5n-2)^2$
$\hspace{3em} =(13k+9)^2+\{5(-k+n)-2\}^2$
$\hspace{1em} -k+n=p \quad (pは整数) とおくと$
$x^2+y^2=(13k+9)^2+(5p-2)^2$
$\hspace{1em} これが最小となる \ k,p \ は \ k=-1,\ p=0 であることは明らかです。$
$\hspace{1em} よって最小値は (-4)^2+(-2)^2=20$
$このとき  n=-1 \ となるから$
$\hspace{1em} x=-13+9=-4$
$\hspace{1em} y=-5 \times (-1)+5 \times (-1)-2=-2$
$\hspace{1em} z=-7 \times (-1)-2=5$


解法3 係数をうまく利用した解き方

おそらく出題者はこの解答を期待したと思われます。
(1)
$35x+91y+65z=3  は$
$5\times 7x+7 \times 13y+5 \times 13z=3  であることに注意して$
(i)
$35x+13(7y+5z)=3  と変形して$
$\hspace{1em} 7y+5z=u \quad (uは整数) とおく$
$35x+13u=3 \hspace{9em} (1) $
$\hspace{1em} 35x+13u=1 \ の特殊解は \ x=3,\ u=-8  であるから$
$35 \times 3+13 \times (-8)=1 $
$\hspace{1em} 両辺を3倍して$
$35 \times 9+13 \times (-24)=3 \hspace{5em} (2)$
$\hspace{1em} (1)-(2)$
$35(x-9)+13(u+24)=0$
$\hspace{1em} (35,13)=1  だから x-9=13k \quad (kは整数)とおける。$
$x=13k+9=13(k+1)-4$
$\hspace{1em} k+1をあらためてkとおくと$
$\hspace{1em} x=13k-4$

(ii)
$5(7x+13z)+91y=3  と変形して$
$\hspace{1em} 7x+13z=v \quad (vは整数) とおく$
$5v+91y=3 \hspace{9em} (3) $
$\hspace{1em} 5v+91y=1  の特殊解は v=-18,\ y=1 であるから$
$5 \times (-18)+91 \times 1=1 $
$\hspace{1em} 両辺を3倍して$
$5 \times (-54)+91 \times 3=3 \hspace{5em} (4)$
$\hspace{1em} (3)-(4)$
$5(v+54)+91(y-3)=0$
$\hspace{1em} (5,91)=1  だから y-3=5l \quad (lは整数)とおける。$
$y=5l+3=5(l+1)-2$
$\hspace{1em} l+1をあらためてlとおくと$
$\hspace{1em} y=5l-2$

(iii)
$7(5x+13y)+65z=3 と変形して$
$\hspace{1em} 5x+13y=w \quad (wは整数) とおく$
$7w+65z=3 \hspace{10em} (5)$
$\hspace{1em} 7w+65z=1  の特殊解は w=28,\ z=-3 \ であるから$
$7 \times 28+65 \times (-3)=1 $
$\hspace{1em} 両辺を3倍して$
$7 \times 84+65 \times (-9)=3 \hspace{5em} (6)$
$\hspace{1em} (5)-(6)$
$7(w-84)+65(z+9)=0$
$\hspace{1em} (7,65)=1  だから  z+9=7m \quad (mは整数) とおける。$
$z=7m-9=7(m-1)-2$
$\hspace{1em} m-1をあらためてmとおくと$
$\hspace{1em} z=7m-2$

$よって  x=13k-4 ,\ y=5l-2 , \ z=7m-2$
ただし
$35x+91y+65z=3  だから$
$35(13k-4)+91(5l-2)+65(7m-2)=3$
$455(k+l+m)=455$
$\therefore k+l+m=1$

例えば
$\hspace{1em} k=0,l=1,m=0  とすると  x=-4,y=3,z=-2  が得られる。$

(2)

$x^2+y^2=(13k-4)^2+(5l-2)^2$
$これが最小となる \ k,l \ は k=0,\ l=0 \ であることは明らかです。$
$よって 最小値は (-4)^2+(-2)^2=20$
$このとき m=1\ となるから$
$\hspace{1em} x=-4,\ y=-2,\ z=5$

解法4 合同式をつかった最もエレガントな解き方

解法3を合同式を使って書き直しただけのものですが、この解き方は高校の教科書のレベルを
超えますのであくまで参考程度にしてください。

(1)
$35x+91y+65z=3  の係数が$
$5\times 7x+7 \times 13y+5 \times 13z=3\ であることに注意して$

(i)$\hspace{1em} 13を法として$
$35x \equiv 3$
$(2 \times 13+9)x \equiv 3$
$9x \equiv 3$
$\hspace{1em} (3,13)=1  だから両辺を3で割って$
$3x \equiv 1$
$\therefore x \equiv -4$
$よって  x=13k-4 \quad (kは整数)$

(ii)$\hspace{1em} 5を法として$
$91y \equiv 3$
$(5 \times 18+1)y \equiv -2$
$y \equiv -2$
$よって  y=5l-2 \quad (lは整数)$

(iii)$\hspace{1em} 7を法として$
$65z \equiv 3$
$(7 \times 9+2)z \equiv 3$
$2z \equiv 3$
$\therefore z \equiv -2$
$よって  z=7m-2 \quad (mは整数)$

この後は解法3と同じですので省略します。




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