東京科学(理系) 2025年 問題1
$関数 \ f(x)\ を \ x \geqq 0 \ \ に対して \ \ f(x)=x\log (1+x) \ \ と定める。$
\[(1)\ \ 不定積分 \ \ \int x\log(1+x) dx \ \ を求めよ。\]
$(2)\ \ y=f(x)\ \ (x \geqq 0)\ \ の逆関数を \ y=g(x)\ \ (x \geqq 0)\ \ とする。また \ a,\ b\ を \ \ g(a)=1,\ \ g(b)=2\ \ となる実数と$
\[\quad する。このとき定積分 \ \ I=\int_a^b g(x)dx \ \ の値を求めよ。\]
\[(3)\ \ 関数 \ P(x)\ を \ \ x \geqq 0 \ \ に対して \ \ P(x)=\int_0^x \sqrt{1+f(t)}dt \ \ と定める。このとき \ \ y=P(x)\ について\]
$\quad 定義域を \ \ x \geqq 0 \ \ とする逆関数 \ y=Q(x)\ が微分可能であることは証明なしに認めてよい。関数 \ R(x)\ を$
\[\quad x \geqq 0 \ \ に対して \ \ R(x) =\int_0^{P(x)} \dfrac{1}{Q'(v)}dv \ \ と定めるとき、R(x)\ を求めよ。\]
(1)
\begin{eqnarray*} & &\int x\log(1+x) dx\\ \\ &=&\int \big\{(1+x)\log(1+x)-\log(1+x)\big\} dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}(1+x)^2\log(1+x)-\int \dfrac{1}{2}(1+x)^2 \times \dfrac{1}{1+x}dx-(1+x)\log(1+x)+\int (1+x) \times \dfrac{1}{1+x}dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}(1+x)^2\log(1+x)-\int \dfrac{1}{2}(1+x)dx-(1+x)\log(1+x)+\int dx\\ \\ &=&\dfrac{1}{2}(1+x)^2\log(1+x)- \dfrac{1}{4}(1+x)^2-(1+x)\log(1+x)+(1+x)+C \\ \\ &=&\dfrac{1}{2}(1+x)^2\log(1+x)- (1+x)\log(1+x)-\dfrac{1}{4}(1+x)^2+(1+x)+C \ \ (C\ は積分定数)\\ \end{eqnarray*}
(2)
$f(x)=x\log (1+x) \ \ より \quad f'(x)=\log(1+x)+\dfrac{x}{1+x}$
$y=f(x)\ \ の逆関数が \ \ y=g(x) \ \ だから \ \ y=g(x)\ \ の逆関数は \ \ y=f(x)\ \ である。$
\[I=\int_a^b g(x)dx \ \ において \ \ g(x)=t \ \ とおくと \quad x=f(t) ,\quad dx=f'(t)dt \quad \begin{array}{c|c} x & a\ \rightarrow b \\ \hline t & \ 1 \rightarrow 2\\ \end{array} \]
$f(x)=x\log (1+x) \ \ より \quad f'(x)=\log(1+x)+\dfrac{x}{1+x}$
\begin{eqnarray*} I &=&\int_a^b g(x)dx\\ \\ &=&\int_1^2 tf'(t)dt\\ \\ &=&\big[tf(t)\big]_1^2 -\int_1^2f(t)dt\\ \\ &=&2(f(2)-f(1) -\int_1^2f(t)dt \hspace{5em}(\ \ (1)より \ \ )\\ \\ &=&4\log 3 -\log 2-\big(\dfrac{1}{2} \times 3^2\log 3 -3\log 3 -\dfrac{1}{4} \times 3^2+3\big)+\big(\dfrac{1}{2} \times 2^2\log 2 -2\log 2 -\dfrac{1}{4} \times 2^2+2\big)\\ \\ &=&4\log 3 -\log 2-\big(\dfrac{9}{2}\log 3 -3\log 3 -\dfrac{9}{4}+3\big)+\big(2\log 2 -2\log 2 -1+2\big)\\ \\ &=&\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{2}\log 3-\log 2 \end{eqnarray*}
(3)
$y=P(x) \ \ の逆関数 \ \ x=Q(y)\ \ は微分可能だから$
$Q'(y)=\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}=\dfrac{1}{\dfrac{dP}{dx}}$
$\therefore \ \ \dfrac{1}{Q'(y)}=\dfrac{dP}{dx}=P'(x)$
\[R(x) =\int_0^{P(x)} \dfrac{1}{Q'(v)}dv \ \ の導関数は\] \begin{eqnarray*} R'(x) &=&P'(x) \times \dfrac{1}{Q'(P(x))}\\ \\ &=&P'(x) \times \dfrac{1}{Q'(y)}\\ \\ &=&P'(x) \times P'(x)\\ \\ &=&\big(P'(x)\big)^2 \end{eqnarray*}
\[P(x)=\int_0^x \sqrt{1+f(t)}dt \ \ だから \]
$P(0)=0,\qquad P'(x)=\sqrt{1+f(x)}$
$よって \quad R'(x)=1+f(x)$
\begin{eqnarray*} R(x) &=&\int (1+f(x))dx\\ \\ &=&x+\int f(x)dx\\ \\ &=&x+\dfrac{1}{2}(1+x)^2\log(1+x)- (1+x)\log(1+x)-\dfrac{1}{4}(1+x)^2+(1+x)+C\\ \end{eqnarray*} \[ここで \quad R(0) =\int_0^{P(0)} \dfrac{1}{Q'(v)}dv=\int_0^0 \dfrac{1}{Q'(v)}dv=0 \quad だから\]
$R(0)=-\dfrac{1}{4}+1+C=0 \qquad C=-\dfrac{3}{4}$
$\therefore \ \ R(x)=\dfrac{1}{2}(1+x)^2\log(1+x)- (1+x)\log(1+x)-\dfrac{1}{4}(1+x)^2+(1+x)+x-\dfrac{3}{4}$
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