東京医科歯科大学 2023年　問題3


$a,\ b\ を正の実数、p\ を \ a\ より小さい正の実数とし、すべての実数 \ x\ について$
\[\hspace{3em} \int_p^{f(x)} \cfrac{a}{u(a-u)}du=bx, \quad 0 < f(x) < a \quad かつ \quad f(0)=p \] $を満たす関数\ f(x)\ を考える。このとき以下の各問いに答えよ。$
$(1)\ \ f(x)\ を \ a,\ b,\ p\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ f(-1)=\cfrac{1}{2},\ \ f(1)=1,\ \ f(3)=\cfrac{3}{2}\ \ のとき、a,\ b,\ p\ を求めよ。$
\[(3)\ \ (2)のとき、\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) \ \ と \ \ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)\ \ を求めよ。\]

(1)


\begin{eqnarray*} & &\int_p^{f(x)} \cfrac{a}{u(a-u)}du\\ \\ &=&\int_p^{f(x)} \big(\cfrac{1}{u}+ \cfrac{1}{a-u}\big)du\\ \\ &=&\big[\log |u|-\log|a-u|\big]_p^{f(x)}\\ \\ &=&\log |f(x)|-\log |a-f(x)|-\log |p|+\log|a-p| \hspace{5em}対数の真数は条件よりすべて正だから\\ \\ &=&\log f(x)-\log (a-f(x))-\log p+\log(a-p)\\ \\ &=&\log \cfrac{a-p}{p} \cdot \cfrac{f(x)}{a-f(x)} \\ \end{eqnarray*} $よって$

$\log \cfrac{a-p}{p} \cdot \cfrac{f(x)}{a-f(x)}=bx$

$\cfrac{a-p}{p} \cdot \cfrac{f(x)}{a-f(x)}=e^{bx}$

$\cfrac{f(x)}{a-f(x)}=\cfrac{p}{a-p} e^{bx} \hspace{5em} 両辺の逆数をとって$

$\cfrac{a-f(x)}{f(x)}=\cfrac{a-p}{p} e^{-bx}$

$\cfrac{a}{f(x)}-1=\cfrac{a-p}{p} e^{-bx}$

$\cfrac{a}{f(x)}=1+\cfrac{a-p}{p} e^{-bx}$

$\therefore \ \ f(x)=\cfrac{a}{1+\cfrac{a-p}{p} e^{-bx}}$

$このf(x)は$

$f(0)=\cfrac{a}{1+\cfrac{a-p}{p}} =\cfrac{ap}{p+(a-p)}=p $

$0 < p < a \quad だから \quad \cfrac{a-p}{p} > 0 \quad よって \quad 0 < f(x) < a $

$したがって 条件を満たしている。$


(2)


$\cfrac{a-p}{p}=q \quad とおくと \quad f(x)=\cfrac{a}{1+q e^{-bx}}$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} f(-1)=\cfrac{a}{1+q e^b}=\cfrac{1}{2} \hspace{5em}①\\ f(1)=\cfrac{a}{1+q e^{-b}}=1 \hspace{5.5em}②\\ f(3)=\cfrac{a}{1+q e^{-3b}}=\cfrac{3}{2} \hspace{5em}③\\ \end{array} \right. \]
$①÷②\ より \quad \cfrac{a}{1+q e^b} \times \cfrac{1+q e^{-b}}{a}=\cfrac{1}{2}$

$2(1+q e^{-b})=1+q e^b \qquad 両辺に \ e^b \ をかけて$

$q e^{2b}-e^b-2q=0 \hspace{8em}④$

$②÷③\ より \quad \cfrac{a}{1+q e^{-b}} \times \cfrac{1+q e^{-3b}}{a}=\cfrac{2}{3}$

$3(1+q e^{-3b})=2(1+q e^{-b}) \qquad 両辺に \ e^{3b} \ をかけて$

$ e^{3b}-2qe^{2b}+3q=0 \hspace{8em}⑤$

$e^b=t \quad とおくと \ ④、⑤は$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} qt^2-t-2q=0 \hspace{6em}⑥\\ t^3-2qt^2+3q=0 \hspace{5em}⑦\\ \end{array} \right. \] $⑥より \quad q(t^2-2)=t$

$t^2=2 \ \ ならば \ \ 右辺 \ \ t=0\ \ となって矛盾だから \quad t^2 \ne 2$

$q=\cfrac{t}{t^2-2} \hspace{5em}⑧$

$⑦に代入して \quad t^3-2t^2 \times \cfrac{t}{t^2-2}+\cfrac{3t}{t^2-2}=0$

$t^3(t^2-2)-2t^3+3t=0 \qquad t^5-4t^3+3t=0$

$t > 0\ \ だから \ t\ で割って \qquad t^4-4t^2+3=0$

$(t^2-1)(t^2-3)=0$

$\therefore \ \ t=1,\ \ \sqrt{3}$

$⑧に代入して$

(i)$\ \ t=1 \ \ のとき \quad e^b=1 \ \ より \ \ b=0 \qquad b > 0\ \ だからこれは不適$

(ii)$\ \ t=\sqrt{3} \ \ のとき \qquad q=\sqrt{3}　\qquad e^b=\sqrt{3}=3^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}} \ \ より \ \ b=\cfrac{1}{2}\log 3$

$①に代入して \quad \cfrac{a}{1+\sqrt{3}\sqrt{3}}=\cfrac{1}{2} \qquad \therefore \ \ a=2$

$\cfrac{a-p}{p}=q \ \ より \ \ \cfrac{2-p}{p}=\sqrt{3} \qquad 2-p=\sqrt{3}p \qquad p=\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$

$したがって \quad a=2,\ \ b=\cfrac{1}{2}\log 3, \ \ p=\sqrt{3}-1$


(3)


$(2)より \quad f(x)=\cfrac{a}{1+q e^{-bx}} \quad において$

$e^b=3^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}\quad だから \quad f(x)=\cfrac{2}{1+\sqrt{3} \cdot 3^{-\scriptsize{\cfrac{x}{2}}}}=\cfrac{2}{1+3^{\scriptsize{\cfrac{1-x}{2}}}}$

$したがって$

$x \longrightarrow -\infty \quad のとき \quad 　3^{\scriptsize{\cfrac{1-x}{2}}} \longrightarrow +\infty \quad だから \quad f(x) \longrightarrow 0$

$x \longrightarrow \infty \quad のとき \quad 　3^{\scriptsize{\cfrac{1-x}{2}}} \longrightarrow 0 \quad だから \quad f(x) \longrightarrow 2$

\[すなわち \quad \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) =0,\qquad \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=2\]

　

$なお、y=f(x)\ のグラフは右図のとおりである。$


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