東京大学（文系）2017年前期 問題４
$p=2+\sqrt{5}とおき、自然数n=1,2,3,\cdots に対して、a_n=p^n+(-\cfrac{1}{p})^n \ と定める。$
$以下の問いに答えよ。ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。$
$(1) a_1,a_2の値を求めよ。$
$(2) n \geqq 2 とする。積a_1a_nを、a_{n+1}とn_{n-1}を用いて表せ。$
$(3) a_n は自然数であることを示せ。$
$(4) a_{n+1}とa_nの最大公約数を求めよ。$
(1)
$q=-\cfrac{1}{p}=-\cfrac{1}{2+\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}$ だから
$a_n=p^n+q^n=(2+\sqrt{5})^n+(2-\sqrt{5})^n$
よって
$a_1=p+q=(2+\sqrt{5}) +(2-\sqrt{5})=4$
$a_2=p^2+q^2=(2+\sqrt{5})^2+(2-\sqrt{5})^2=18$
(2)
$pq=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=-1$ だから
\begin{eqnarray*} a_1a_n&=&(p+q)(p^n+q^n)\\ &=&p^{n+1}+q^{n+1}+pq(p^{n-1}+q^{n-1})\\ &=&p^{n+1}+q^{n+1}-(p^{n-1}+q^{n-1})\\ &=&a_{n+1}-a_{n-1}\\ \end{eqnarray*}
ここで、少し解説します。
$x+y=a,\ xy=b \quad のとき S_n=x^n+y^n の値を求める問題では$
\begin{eqnarray*} S_{n+2}&=&x^{n+2}+y^{n+2}\\ &=&(x+y)(x^{n+1}+y^{n+1})-xy(x^n+y^n)\\ &=&aS_{n+1}-bS_n\\ \end{eqnarray*} の漸化式を導くのが定石です。
$上の問題(2)はこの定石を知らない受験生にもわかるようにa_1a_nを求めさせて$
いるのです。$a_1をかけることがポイントです。$
東大にしては、文系といえども親切心が過ぎました。
(3)
$a_1=4 だから 4a_n=a_{n+1}-a_{n-1}$
$\therefore \ a_{n+1}=4a_n+a_{n-1}$
数学的帰納法で示します。
(i)$\ a_1=4,\ a_2=18$ は自然数である。
(ii)$\ a_{k-1},a_k \quad がともに自然数とすると$
$\hspace{2em} a_{k+1}=4a_k+a_{k-1} より a_{k+1}\ も自然数となる。$
(i)(ii)よりすべての自然数について$a_n$は自然数である。
$一般に、「n=k,\ \ n=k+1\ \ のとき成りたつとすると \ n=k+1\ のときも成りたつ」という仮定2つの$
$数学的帰納法の証明方法は$数学的帰納法による証明$を参考にしてください。$
(4)
$整数a,bの最大公約数を(a,b)と表すと、任意の整数kについて (a,ka+b)=(a,b) \quad が成りたつ$
$($最大公約数の性質 (a,ka+b)=(a,b)$を参照してください。)$
この定理を使って
\begin{eqnarray*} (a_{n+1},a_n) &=&(4a_n+a_{n-1},a_n)\\ &=&(a_{n-1},a_n)\\ &=&(a_n,a_{n-1})\\ &=&(a_{n-1},a_{n-2})\\ \vdots \\ &=&(a_2,a_1)\\ &=&(18,4)\\ &=&2\\ \end{eqnarray*}
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