東京大学(文系)2017年前期 問題4

$p=2+\sqrt{5}とおき、自然数n=1,2,3,\cdots に対して、a_n=p^n+(-\cfrac{1}{p})^n \ と定める。$
$以下の問いに答えよ。ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。$
$(1) a_1,a_2の値を求めよ。$
$(2) n \geqq 2 とする。積a_1a_nを、a_{n+1}とn_{n-1}を用いて表せ。$
$(3) a_n は自然数であることを示せ。$
$(4) a_{n+1}とa_nの最大公約数を求めよ。$


(1)


$q=-\cfrac{1}{p}=-\cfrac{1}{2+\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}$ だから
$a_n=p^n+q^n=(2+\sqrt{5})^n+(2-\sqrt{5})^n$
よって
$a_1=p+q=(2+\sqrt{5}) +(2-\sqrt{5})=4$
$a_2=p^2+q^2=(2+\sqrt{5})^2+(2-\sqrt{5})^2=18$


(2)


$pq=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=-1$  だから

\begin{eqnarray*} a_1a_n&=&(p+q)(p^n+q^n)\\ &=&p^{n+1}+q^{n+1}+pq(p^{n-1}+q^{n-1})\\ &=&p^{n+1}+q^{n+1}-(p^{n-1}+q^{n-1})\\ &=&a_{n+1}-a_{n-1}\\ \end{eqnarray*}
ここで、少し解説します。
$x+y=a,\ xy=b \quad のとき S_n=x^n+y^n  の値を求める問題では$
\begin{eqnarray*} S_{n+2}&=&x^{n+2}+y^{n+2}\\ &=&(x+y)(x^{n+1}+y^{n+1})-xy(x^n+y^n)\\ &=&aS_{n+1}-bS_n\\ \end{eqnarray*} の漸化式を導くのが定石です。

$上の問題(2)はこの定石を知らない受験生にもわかるようにa_1a_nを求めさせて$
いるのです。$a_1をかけることがポイントです。$
東大にしては、文系といえども親切心が過ぎました。


(3)


$a_1=4  だから 4a_n=a_{n+1}-a_{n-1}$
$\therefore \ a_{n+1}=4a_n+a_{n-1}$

数学的帰納法で示します。

(i)$\ a_1=4,\ a_2=18$ は自然数である。
(ii)$\ a_{k-1},a_k \quad がともに自然数とすると$
$\hspace{2em} a_{k+1}=4a_k+a_{k-1}  より  a_{k+1}\ も自然数となる。$
(i)(ii)よりすべての自然数について$a_n$は自然数である。

ここで、また少し解説します。
数学的帰納法による証明は、教科書レベルでは
(i) $n=1\ のとき成りたつ。$
(ii)$n=k\ のとき成りたつとすると、n=k+1\ のときも成りたつ。$
よって、すべての自然数について成りたつ。

とします。いわゆる将棋倒しのイメージです。
図式で示すと次のとおりです。

$\qquad P(1) \rightarrow P(2) \rightarrow P(3) \rightarrow \cdots \rightarrow P(k) \rightarrow P(k+1)\rightarrow \cdots $

数学的帰納法による証明パターンはこの他に
(i) $n=1,\ n=2\ のとき成りたつ。$
(ii)$n=k,\ n=k+1\ のとき成りたつとすると、n=k+2\ のときも成りたつ。$
よって、すべての自然数について成りたつ。

のように仮定2つから結論を導く方法もあります。
図式で示すと次のとおりです。

$\qquad $

(4)


(補題)  $整数a,bの最大公約数を(a,b)と表すと、任意の整数kについて (a,ka+b)=(a,b)$

(i) $(a,ka+b) \ は \ (a,b)\ の約数であることの証明$

$(a,ka+b)=d\ とすると a=ld,\ ka+b=md\quad (l,mは整数)\ とおけるから$
$kld+b=md  より b=(m-kl)d  となって \ d\ はbの約数である。$
もともと$\ d\ は\ a\ の約数だから d\ は\ a,b\ の公約数となり$
したがって $d=(a,ka+b) \ は \ (a,b)\ の約数となる。$

(ii) $(a,b)\ は \ (a,ka+b)\ の約数であることの証明$

$(a,b)=e  とおくと a=pe,\ b=qe\quad (p,qは整数) \ とおけるから$
$ka+b=kpe+qe=(kp+q)e\ となって e\ はka+b\ の約数である。$
もともと $\ e\ は \ a\ の約数だから e\ はa,ka+b \ の公約数となり$
したがって $e=(a,b)\ は \ (a,ka+b)\ の約数となる。$

(i)(ii)より
$\hspace{2em} (a,ka+b)\ は \ (a,b)の約数であり、(a,b)\ は \ (a,ka+b)\ の約数でもあるから$
$\hspace{2em} (a,ka+b)=(a,b)$

この補題を使えば(4)は
\begin{eqnarray*} (a_{n+1},a_n)&=&(4a_n+a_{n-1},a_n)\\ &=&(a_{n-1},a_n)\\ &=&(a_n,a_{n-1})\\ &=&(a_{n-1},a_{n-2})\\ \vdots \\ &=&(a_2,a_1)\\ &=&(18,4)\\ &=&2\\ \end{eqnarray*}



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