東北大学(理系) 2023年　問題5


$四面体 \ OABC\ において、\vec{a}=\vec{OA},\ \ \vec{b}=\vec{OB},\ \ \vec{c}=\vec{OC}\ \ とおき、次が成り立つとする。$
$\qquad \angle AOB=60°, \quad |\vec{a}|=2, \quad |\vec{b}|=3, \quad |\vec{c}|=\sqrt{6}, \quad \vec{b} \cdot \vec{c}=3$
$ただし、\vec{b} \cdot \vec{c}\ は、2\ つのベクトル \ \vec{b}\ と \ \vec{c}\ の内積を表す。さらに、線分 \ OC\ と線分 \ AB\ は垂直であるとする。$
$点 \ C\ から \ 3\ 点 \ O,\ A,\ B\ を含む平面に下ろした垂線を \ CH\ とし、点 \ O\ から \ 3\ 点 \ A,\ B,\ C\ を含む平面に$
$下ろした垂線を \ OK\ とする。$
$(1)\ \ \vec{a}\cdot \vec{b}\ と \ \vec{c}\cdot \vec{a}\ を求めよ。$
$(2)\ \ ベクトル \ \vec{OH}\ を \ \vec{a}\ と \ \vec{b}\ を用いて表せ。$
$(3)\ \ ベクトル \ \vec{c}\ とベクトル \ \vec{HK}\ は平行であることを示せ。$


(1)

　

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60°=2 \times 3 \times \cfrac{1}{2}=3$

$線分 \ OC\ と線分 \ AB\ は垂直だから \quad \vec{OC} \cdot \vec{AB}=0$

$\vec{c} \cdot (\vec{b}-\vec{a})=0 \qquad \vec{c} \cdot \vec{a}=\vec{c} \cdot \vec{b}=3$

$ゆえに \quad \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=3$


(2)


$点 \ H\ は\ 3\ 点 \ O,\ A,\ B\ を含む平面上にあるから \quad \vec{OH}=p\vec{a}+q\vec{b}\ \ (p,\ q\ は実数)\ とおける。$

$CHは\ 3\ 点 \ O,\ A,\ B\ を含む平面に下ろした垂線だから \quad CH \perp OA,\quad CH \perp OB$

(i)$\ \ CH \perp OA \quad より$

$\quad \vec{CH} \cdot \vec{OA}=0$

$\quad (\vec{OH}-\vec{OC})\cdot \vec{OA}=0$

$\quad (p\vec{a}+q\vec{b}- \vec{c})\cdot \vec{a}=0$

$\quad p|\vec{a}|^2 +q\vec{b} \cdot \vec{a}- \vec{c} \cdot \vec{a}=0$

$\quad 4p+3q-3=0 \hspace{5em} ①$

(ii)$\ \ CH \perp OB \quad より$

$\quad \vec{CH} \cdot \vec{OB}=0$

$\quad (\vec{OH}-\vec{OC})\cdot \vec{OB}=0$

$\quad (p\vec{a}+q\vec{b}- \vec{c})\cdot \vec{b}=0$

$\quad p\vec{a} \cdot \vec{b} +q|\vec{b}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{b}=0$

$\quad 3p+9q-3=0 \hspace{5em} ②$

$①、②を解いて \quad p=\cfrac{2}{3},\quad q=\cfrac{1}{9}$

$よって \quad \vec{OH}= \cfrac{2}{3}\vec{a}+ \cfrac{1}{9}\vec{b}$


(3)

　

$点 \ K\ は\ 3\ 点 \ A,\ B,\ C\ を含む平面上にあるから \quad \vec{AK}=l\vec{AB}+m\vec{AC}\ \ (l,\ m\ は実数)$

$とおける。$

$\vec{OK}-\vec{OA}=l(\vec{OB}-\vec{OA})+m(\vec{OC}-\vec{OA})$

$\vec{OK}=\vec{a}+l(\vec{b}-\vec{a})+m(\vec{c}-\vec{a})=(1-l-m)\vec{a}+l\vec{b}+m\vec{c}$

$OK\ は\ 3\ 点 \ A,\ B,\ C\ を含む平面に下ろした垂線だから \quad OK \perp AB,\quad OK \perp AC$

(i)$\ \ OK \perp AB \quad より$

$\quad \vec{OK} \cdot \vec{AB}=0$

$\quad ((1-l-m)\vec{a}+l\vec{b}+m\vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{a})=0$

$\quad (1-l-m)\vec{a} \cdot \vec{b} - (1-l-m)|\vec{a}|^2 +l|\vec{b}|^2 -l\vec{a} \cdot \vec{b} + m\vec{b} \cdot \vec{c} -m\vec{a} \cdot \vec{c}=0$

$\quad 3(1-l-m) -4(1-l-m) + 9l -3l + 3m -3m =0$

$\quad 7l+m=1 \hspace{5em}①$

(ii)$\ \ OK \perp AC \quad より$

$\quad \vec{OK} \cdot \vec{AC}=0$

$\quad ((1-l-m)\vec{a}+l\vec{b}+m\vec{c}) \cdot (\vec{c}-\vec{a})=0$

$\quad (1-l-m)\vec{a} \cdot \vec{c} - (1-l-m)|\vec{a}|^2 +l\vec{b} \cdot \vec{c} -l\vec{a} \cdot \vec{b} + m|\vec{c}|^2 -m\vec{a} \cdot \vec{c}=0$

$\quad 3(1-l-m) -4(1-l-m) + 3l -3l + 6m -3m =0$

$\quad l+4m=1 \hspace{5em}②$

$①、②を解いて \quad l=\cfrac{1}{9},\quad m=\cfrac{2}{9}$

$よって \quad \vec{OK}= (1-\cfrac{1}{9}-\cfrac{2}{9})\vec{a}+ \cfrac{1}{9}\vec{b}+\cfrac{2}{9}\vec{c}= \cfrac{2}{3}\vec{a}+ \cfrac{1}{9}\vec{b}+\cfrac{2}{9}\vec{c}$

$\vec{HK}=\vec{OK}-\vec{OH}=\big(\cfrac{2}{3}\vec{a}+ \cfrac{1}{9}\vec{b}+\cfrac{2}{9}\vec{c}\big)- \big(\cfrac{2}{3}\vec{a}+ \cfrac{1}{9}\vec{b}\big)=\cfrac{2}{9}\vec{c}$

$したがって \quad　\vec{c} /\!/ \vec{HK}$


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