東北大学(理系) 2023年　問題3


$s\ を\ 実数とし、数列 \ \{a_n\}\ を \ a_1=s,\ \ (n+2)a_{n+1}=na_n +2 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \ \ で定める。$
$以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a_n \ を \ n\ と \ s\ を用いて表せ。$
\[(2)\ \ ある正の整数 \ m\ に対して \ \ \sum _{n=1}^m a_n =0\ \ が成り立つとする。s\ を \ m\ を用いて表せ。\]



(1)


$(与えられた漸化式を変形して定形にもっていく方法がないわけではないが、あれこれ考える前に初心にもどる。)$

$(n+2)a_{n+1}=na_n +2 \quad より \quad a_{n+1}=\cfrac{n}{n+2}a_n+\cfrac{2}{n+2} \quad に逐次代入して$

$\quad a_1=s$

$\quad a_2=\cfrac{1}{3}a_1+\cfrac{2}{3}=\cfrac{1}{3} \times s+\cfrac{2}{3}=\cfrac{s+2}{3}$

$\quad a_3=\cfrac{2}{4}a_2+\cfrac{2}{4}=\cfrac{1}{2} \times \cfrac{s+2}{3} +\cfrac{1}{2}=\cfrac{s+5}{6}$

$\quad a_4=\cfrac{3}{5}a_3+\cfrac{2}{5}=\cfrac{3}{5} \times \cfrac{s+5}{6} +\cfrac{2}{5}=\cfrac{s+9}{10}$

$\hspace{5em} \vdots $

　

$各項の分母を\ p_n \ とし、その階差をとると$

$\quad 初項 \ 2,\ \ 公差 \ 1\ の等差数列だから$

\[\quad p_n=1+ \sum _{k=1}^{n-1} (1+k)=\sum _{k=1}^n k=\cfrac{n(n+1)}{2}\]
$また、各項の分子を \ q_n \ とおくと$

$\quad q_n=s+(分母 -1) =s+\cfrac{n(n+1)}{2}-1=s+\cfrac{n^2+n-2}{2}=\cfrac{1}{2}\{2s+(n-1)(n+2)\}$

$したがって$

$\quad a_n=\cfrac{q_n}{p_n}=\cfrac{\dfrac{1}{2}\{2s+(n-1)(n+2)\}}{\dfrac{n(n+1)}{2}}=\cfrac{2s+(n-1)(n+2)}{n(n+1)}$

$これが、一般的に成りたつことを数学的帰納法で証明する。$

(i)$\ \ n=1 \ \ のとき$

$\quad 左辺=a_1=s,\qquad 右辺=\cfrac{2s}{1 \times 2}=s$

$\quad よって \ \ n=1\ \ のとき成りたつ。$

(ii)$\ \ n=k\ \ のとき成りたつとすると \qquad a_k=\cfrac{2s+(k-1)(k+2)}{k(k+1)}$

$\quad このとき$

\begin{eqnarray*} \quad a_{k+1} &=&\cfrac{k}{k+2}a_k + \cfrac{2}{k+2}\\ \\ &=&\cfrac{k}{k+2} \times \cfrac{2s+(k-1)(k+2)}{k(k+1)} + \cfrac{2}{k+2}\\ \\ &=&\cfrac{2s+(k-1)(k+2)}{(k+1)(k+2)} + \cfrac{2}{k+2}\\ \\ &=&\cfrac{2s+(k-1)(k+2)+2(k+1)}{(k+1)(k+2)}\\ \\ &=&\cfrac{2s+k^2+3k}{(k+1)(k+2)}\\ \\ &=&\cfrac{2s+k(k+3)}{(k+1)(k+2)}\\ \end{eqnarray*}
$\quad よって \ \ n=k+1\ \ のときも成りたつ。$

(i),(ii)$\ \ よりすべての自然数 \ n\ について \qquad 　a_n=\cfrac{2s+(n-1)(n+2)}{n(n+1)}$


(2)


\[\sum _{n=1}^m a_n =0 \quad より \quad \sum _{n=1}^m \cfrac{2s+(n-1)(n+2)}{n(n+1)} =0\]
\[2s \sum _{n=1}^m \cfrac{1}{n(n+1)} + \sum _{n=1}^m \cfrac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)} =0\]
\begin{eqnarray*} 第2項 &=&\sum _{n=1}^m \cfrac{(n-1)(n+1+1)}{n(n+1)}\\ \\ &=&\sum _{n=1}^m \cfrac{n(n+1)+n-(n+1)-1}{n(n+1)}\\ \\ &=&\sum _{n=1}^m \cfrac{n(n+1) -2}{n(n+1)}\\ \\ &=&\sum _{n=1}^m \big(1-\cfrac{2}{n(n+1)}\big)\\ \\ &=&\sum _{n=1}^m 1- 2 \sum _{n=1}^m \cfrac{1}{n(n+1)}\\ \\ &=&m- 2 \sum _{n=1}^m \cfrac{1}{n(n+1)}\\ \end{eqnarray*} $よって$
\[2s \sum _{n=1}^m \cfrac{1}{n(n+1)} + m- 2 \sum _{n=1}^m \cfrac{1}{n(n+1)}=0\]
\[2(1-s) \sum _{n=1}^m \cfrac{1}{n(n+1)} =m\]
$ここで$
\begin{eqnarray*} & &\sum _{n=1}^m \cfrac{1}{n(n+1)}\\ \\ &=&\sum _{n=1}^m \big(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1}\big)\\ \\ &=&\big(1-\cfrac{1}{2}\big)+\big(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3}\big) + \cdots +\big(\cfrac{1}{m}-\cfrac{1}{m+1}\big)\\ \\ &=&1-\cfrac{1}{m+1}\\ \\ &=&\cfrac{m}{m+1} \end{eqnarray*}
$したがって$

$2(1-s) \times \cfrac{m}{m+1}=m$

$\therefore \ \ s=\cfrac{1-m}{2}$


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