東北大学(理系) 2023年 問題2
$関数 \ f(x)=\sin 3x + \sin x \ \ について、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ f(x)=0 \ \ を満たす正の実数 \ x\ のうち、最小のものを求めよ。$
$(2)\ \ 正の整数 \ m\ に対して、f(x)=0\ \ を満たす正の実数 \ x\ のうち、m\ 以下のものの個数を \ p(m)\ とする。$
\[\quad 極限値 \ \ \lim _{m \rightarrow \infty} \cfrac{p(m)}{m}\ \ を求めよ。\]
(1)
$f(x)=\sin 3x + \sin x =2\sin 2x\cos x=4\sin x \cos ^2x \quad だから$
$f(x)=0 \quad より \quad \sin x \cos ^2x=0$
(i)$\ \ \sin x=0 \quad より \quad x=\pi,\ \ 2\pi,\ \ \cdots $
(ii)$\ \ \cos x=0 \quad より \quad x=\cfrac{\pi}{2},\ \ \cfrac{3}{2}\pi,\ \ \cdots $
(i),(ii)$より最小の解は \quad x=\cfrac{\pi}{2}$
(2)
$(1)より \ \ f(x)=0 \ \ の解は小さい方から順に \quad \cfrac{1}{2}\pi,\ \ \cfrac{2}{2}\pi,\ \ \cfrac{3}{2}\pi,\ \ \cfrac{4}{2}\pi,\ \ \cdots $
$m=\cfrac{1}{2} \times \cfrac{2m}{\pi} \times \pi \quad だから \ \ m\ 以下の解の個数は \quad \big[\cfrac{2m}{\pi}\big] 個$
$ここに、[\ \ ] \ はガウス記号で、[x]\ は \ x\ を超えない最大の整数である。$
$したがって \quad p(m)=\big[\cfrac{2m}{\pi}\big] $
$一般に、n\ を整数、x\ を実数とするとき \ \ 定義から \quad n \leqq x < n+1 \quad のとき \ \ [x]=n \ \ であるから$
$[x] \leqq x < [x] +1 ,\qquad \therefore \ \ x-1 < [x] \leqq x \quad が成りたつ。$
$x=\cfrac{2m}{\pi} \quad とおくと$
$\cfrac{2m}{\pi}-1 < \big[\cfrac{2m}{\pi}\big] \leqq \cfrac{2m}{\pi} \quad すなわち \quad \cfrac{2m}{\pi}-1 < p(m) \leqq \cfrac{2m}{\pi} $
$よって \quad \cfrac{2}{\pi}-\cfrac{1}{m} < \cfrac{p(m)}{m} \leqq \cfrac{2}{\pi} $
$m \longrightarrow \infty \ \ とすると \quad 左辺=\cfrac{2}{\pi}-\cfrac{1}{m} \longrightarrow \cfrac{2}{\pi} \quad だからはさみうちの原理により$
\[\lim _{m \rightarrow \infty} \cfrac{p(m)}{m} = \cfrac{2}{\pi}\]
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