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東北大学(理系) 2022年　問題6

$半径 \ 1\ の円を底面とする高さが \ \sqrt{3}\ の直円柱と、半径が \ r\ の球を考える。直円柱の底面の円の中心と$
$球の中心が一致するとき、直円柱の内部と球の内部の共通部分の体積 \ V(r)\ を求めよ。$

　
$(1)\ \ 0 \leqq r \leqq 1 \quad のとき$

$\quad 球はすっぽり円柱の内部にあるから$

$\quad V(r)=(球の体積の1/2)=\cfrac{2}{3}\pi r^3$

　
$(2)\ \ 1 \leqq r \leqq \sqrt{3} \quad のとき$

$\quad 球が円柱をくり抜くから$

$\quad 高さ\sqrt{r^2-1}の円柱部分の体積V_1は$

$\quad V_1=\pi \times 1^2 \times \sqrt{r^2-1}=\pi \sqrt{r^2-1}$


$\quad 球が円柱をくり抜く部分の体積V_2は$

　
\begin{eqnarray*} \quad V_2 &=&\pi\int _{\sqrt{r^2-1}}^r y^2dx\\ \\ &=&\pi\int _{\sqrt{r^2-1}}^r (r^2-x^2)dx\\ \\ &=&\pi\big[r^2x-\cfrac{x^3}{3}\big] _{\sqrt{r^2-1}}^r \\ \\ &=&\pi \big(r^3-\cfrac{r^3}{3}-r^2\sqrt{r^2-1}+\cfrac{r^2-1}{3}\sqrt{r^2-1}\big)\\ \\ &=&\pi \big(\cfrac{2}{3}r^3-\cfrac{2r^2+1}{3}\sqrt{r^2-1}\big)\\ \end{eqnarray*}
$\quad よって このときの体積は$

\begin{eqnarray*} \quad V(r) &=&V_1+V_2\\ \\ &=&\pi \sqrt{r^2-1}+\pi \big(\cfrac{2}{3}r^3-\cfrac{2r^2+1}{3}\sqrt{r^2-1}\big)\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{3}(3\sqrt{r^2-1}+2r^3-(2r^2+1)\sqrt{r^2-1})\\ \\ &=&\cfrac{2\pi}{3}(r^3-(r^2-1)\sqrt{r^2-1})\\ \end{eqnarray*}

　
$(3)\ \ \sqrt{3} \leqq r \leqq 2 \quad のとき$

$\quad 球が円柱をくり抜くから$

$\quad 高さ \ \sqrt{r^2-1}\ の円柱部分の体積 \ V_1\ は$

$\quad V_1=\pi \times 1^2 \times \sqrt{r^2-1}=\pi \sqrt{r^2-1}$

$\quad 球が円柱をくり抜く部分の体積 \ V_2\ は$

　
\begin{eqnarray*} \quad V_2 &=&\pi\int _{\sqrt{r^2-1}}^{\sqrt{3}} y^2dx\\ \\ &=&\pi\int _{\sqrt{r^2-1}}^{\sqrt{3}}(r^2-x^2)dx\\ \\ &=&\pi\big[r^2x-\cfrac{x^3}{3}\big] _{\sqrt{r^2-1}}^{\sqrt{3}} \\ \\ &=&\pi \big(\sqrt{3}r^2-\cfrac{3\sqrt{3}}{3}-r^2\sqrt{r^2-1}+\cfrac{r^2-1}{3}\sqrt{r^2-1}\big)\\ \\ &=&\pi \big(\sqrt{3}r^2-\sqrt{3}-\cfrac{2r^2+1}{3}\sqrt{r^2-1}\big)\\ \end{eqnarray*}
$\quad よって このときの体積は$

\begin{eqnarray*} \quad V(r) &=&V_1+V_2\\ \\ &=&\pi \sqrt{r^2-1}+\pi \big(\sqrt{3}r^2-\sqrt{3}-\cfrac{2r^2+1}{3}\sqrt{r^2-1}\big)\\ \\ &=&\cfrac{\pi}{3}(3\sqrt{3}(r^2-1)-2(r^2-1)\sqrt{r^2-1})\\ \end{eqnarray*}

　
$(4)\ \ r \geqq 2 \quad のとき$

$\quad 球は完全に円柱を飲み込むから$

$\quad V(r)=(円柱の体積)=\pi \times 1^2 \times \sqrt{3}=\sqrt{3}\pi$


$(1) ～(4)をまとめて$

　
\[ \hspace{1em} V(r)= \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{2}{3}\pi r^3 \hspace{16em} (0 \leqq r \leqq 1)\\ \cfrac{2\pi}{3}(r^3-(r^2-1)\sqrt{r^2-1}) \hspace{7em} (1 \leqq r \leqq \sqrt{3})\\ \cfrac{\pi}{3}(3\sqrt{3}(r^2-1)-2(r^2-1)\sqrt{r^2-1}) \hspace{3em} (\sqrt{3} \leqq r \leqq 2 )\\ \sqrt{3}\pi \hspace{17em} (r \geqq 2 )\\ \end{array} \right. \]
$右図は \ V(r)\ のグラフです。$

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