東北大学(理系) 2022年 問題5
$座標空間内において、ベクトル \ \ \vec{a}=(1,\ 2,\ 1),\ \vec{b}=(1,\ 1,\ -1),\ \vec{c}=(0,\ 0,\ 1)\ が定める \ 2\ 直線 \ l:s\vec{a},\ \ l':t\vec{b}+\vec{c}$
$(s,\ t\ は実数)\ を考える。点A_1\ を原点 \ (0,\ 0,\ 0)\ とし、点A_1\ から直線 \ l'\ に下ろした垂線を \ A_1B_1\ とおく。$
$次に、点 \ B_1(t_1\vec{b}+\vec{c})\ から直線 \ l\ に下ろした垂線を \ B_1A_2\ とおく。同様に、点 \ A_k(s_k\vec{a})\ から直線 \ l'\ に下ろした$
$垂線を \ A_kB_k、点 \ B_k(t_k\vec{b}+\vec{c})\ から直線 \ l\ に下ろした垂線を \ B_kA_{k+1}\ とする手順を繰り返して、点 \ A_n(s_n\vec{a})、$
$点 \ B_n(t_n\vec{b}+\vec{c})\ \ (nは正の整数)を定める。$
$(1)\ \ s_n\ を用いて \ s_{n+1}\ を表せ。$
\[(2)\ \ 極限値 \ \ S=\lim_{n \rightarrow \infty}s_n,\ \ T=\lim_{n \rightarrow \infty}t_n \ \ を求めよ。\]
$(3)\ \ (2)で求めた \ S,\ T\ に対して、点 \ A,\ B\ をそれぞれ点 \ A(S\vec{a})、B(T\vec{b}+\vec{c})\ とおくと、直線 \ AB\ は$
$\quad 2\ 直線 \ l,\ l'\ の両方と直交することを示せ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 2直線 \ l,\ l'\ の方向ベクトルはそれぞれ \ \ \vec{a},\ \vec{b}\ です。A_kB_k \perp l' ,\ \ B_kA_{k+1} \perp l \ \ より求めます。$
$(2)\ \ (1)で得られた隣接\ 2\ 項間の漸化式を解いて \ s_n \ を求めます。$
$(3)\ \ \vec{AB}\cdot \vec{a}\ \ と\ \ \vec{AB}\cdot \vec{b}\ を計算します。$
(1)
$\quad \vec{a}=(1,\ 2,\ 1),\ \vec{b}=(1,\ 1,\ -1),\ \vec{c}=(0,\ 0,\ 1)\ より$
$\quad |\vec{a}|^2=6,\quad |\vec{b}|^2=3,\quad \vec{a}\cdot \vec{b}=2,\quad \vec{b}\cdot \vec{c}=-1,\quad \vec{a}\cdot \vec{c}=1$
$\quad 2直線 \ l,\ l'\ の方向ベクトルはそれぞれ \ \ \vec{a},\ \vec{b}\ である。$
(i)$\ \ 線分 \ A_kB_k \perp l' \quad より \quad \overrightarrow{A_kB_k} \perp \vec{b}$
$\quad \overrightarrow{A_kB_k} \cdot \vec{b}=(t_k\vec{b}+\vec{c}-s_k\vec{a}) \cdot \vec{b}=0$
$\quad t_k|\vec{b}|^2+\vec{b}\cdot \vec{c}-s_k\vec{a} \cdot \vec{b}=0$
$\quad 3t_k-1-2s_k=0 \hspace{5em}①$
(ii)$\ \ 線分 \ B_kA_{k+1} \perp l \quad より \quad \overrightarrow{B_kA_{k+1}} \perp \vec{a}$
$\quad \overrightarrow{B_kA_{k+1}} \cdot \vec{a}=\{s_{k+1}\vec{a}-(t_k\vec{b}+\vec{c})\} \cdot \vec{a} =0$
$\quad s_{k+1}|\vec{a}|^2 -t_k \vec{a} \cdot \vec{b} -\vec{a} \cdot \vec{c}=0$
$\quad 6s_{k+1}-2t_k-1=0$
$\quad t_k=3s_{k+1}-\cfrac{1}{2} \quad を①に代入して$
$\quad 3\big(3s_{k+1}-\cfrac{1}{2}\big)-1-2s_k=0 \qquad \therefore \ \ s_{k+1}=\cfrac{2}{9}s_k+\cfrac{5}{18}$
$\quad よって \quad s_{n+1}=\cfrac{2}{9}s_n+\cfrac{5}{18}$
(2)
$\quad s_{n+1}=\cfrac{2}{9}s_n+\cfrac{5}{18}$
$\quad 特性方程式 \quad k=\cfrac{2}{9}k+\cfrac{5}{18} \quad の解は \quad k=\cfrac{5}{14}$
$\quad 辺々引いて \quad s_{n+1}-\cfrac{5}{14}=\cfrac{2}{9}\big(s_n-\cfrac{5}{14}\big)$
$\quad \therefore \ \ s_n=(s_1-\cfrac{5}{14})\big(\cfrac{2}{9}\big)^{n-1}+\cfrac{5}{14}$
$\quad n \longrightarrow \infty \quad のとき \quad (\cfrac{2}{9})^{n-1} \longrightarrow 0 \quad だから$
\[\quad S=\lim_{n \longrightarrow \infty} s_n=\cfrac{5}{14}\]
$\quad ①より \quad t_n=\cfrac{2}{3}s_n+\cfrac{1}{3} \quad だから$
\[\quad T=\lim_{n \rightarrow \infty}t_n=\lim_{n \rightarrow \infty}(\cfrac{2}{3}s_n+\cfrac{1}{3})= \cfrac{2}{3} \times \cfrac{5}{14} + \cfrac{1}{3}=\cfrac{4}{7}\]
(3)
$\quad (2)より \quad S\vec{a}=\cfrac{5}{14}\vec{a},\quad T\vec{b}+\vec{c}=\cfrac{4}{7}\vec{b}+\vec{c} \quad だから \quad \vec{AB}=\cfrac{4}{7}\vec{b}+\vec{c} -\cfrac{5}{14}\vec{a}$
(i)$\ \ 直線 \ l\ の方向ベクトルは \quad \vec{a} \quad だから$
\begin{eqnarray*} \quad \vec{AB}\cdot \vec{a} &=&(\cfrac{4}{7}\vec{b}+\vec{c} -\cfrac{5}{14}\vec{a})\cdot \vec{a}\\ &=&\cfrac{4}{7}\vec{b}\cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{a}-\cfrac{5}{14}|\vec{a}|^2\\ &=&\cfrac{4}{7} \times 2 + 1 - \cfrac{5}{14} \times 6\\ &=&0 \end{eqnarray*} $\quad よって \quad AB \perp l$
(ii)$\ \ 直線 \ l'\ の方向ベクトルは \quad \vec{b} \quad だから$
\begin{eqnarray*} \quad \vec{AB}\cdot \vec{b} &=&(\cfrac{4}{7}\vec{b}+\vec{c} -\cfrac{5}{14}\vec{a})\cdot \vec{b}\\ &=&\cfrac{4}{7}|\vec{b}|^2 + \vec{c} \cdot \vec{b}-\cfrac{5}{14}\vec{a} \cdot \vec{b}\\ &=&\cfrac{4}{7} \times 3 -1 - \cfrac{5}{14} \times 2\\ &=&0 \end{eqnarray*} $\quad よって \quad AB \perp l'$
$\quad $(i),(ii)$\ \ より直線 \ AB\ は\ \ 2\ 直線 \ l,\ l'\ の両方と直交する。$
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