東北大学(理系) 2022年 問題4
$xy\ 平面の第 \ 1\ 象限内において、直線 \ l:y=mx \ (m > 0)\ と \ x\ 軸の両方に接している半径 \ a\ の円を \ C\ とし、$
$円 \ Cの中心を通る直線 \ y=tx \ (t > 0)\ を考える。$
$また、直線 \ l\ と \ x\ 軸、および、円 \ C\ のすべてにそれぞれ \ 1\ 点で接する円の半径を \ b\ とする。$
$ただし、b > a\ とする。$
$\qquad (1)\ \ m\ を用いて \ t\ を表せ。$
$\qquad (2)\ \ t\ を用いて \ \ \cfrac{b}{a}\ \ を表せ。$
\[(3)\ \ 極限値 \ \ \lim _{m \rightarrow +0} \cfrac{1}{m}\big(\cfrac{b}{a}-1\big) \ \ を求めよ。\]
$(解説)$
$(1)\ \ 直線 \ y=tx \ は \ x\ 軸と直線 \ t=mx \ のなす角の \ 2\ 等分線です。そこでこのなす角を \ 2\theta \ とします。$
$(2)\ \ a,\ b\ を用いて \ \sin \theta \ を表します。\sin \theta \ と \ \tan \theta \ の関係式を使います。$
$(3)\ \ 0 < t < m \ \ だから \ \ m \rightarrow 0 \ \ のとき \ \ t \rightarrow 0 \ \ となります。$
(1)
$半径 \ a,\ b\ のそれぞれの円を \ C,\ C'\ とし、直線 \ y=tx \ と \ x\ 軸の$
$なす角を \ \theta \ とする。ただし、0 < \theta < \cfrac{\pi}{4}$
$\quad t=\tan \theta ,\qquad m=\tan 2\theta \quad を$
$\quad \tan 2\theta =\cfrac{2\tan \theta}{1-\tan ^2\theta} \quad に代入して$
$\quad m=\cfrac{2t}{1-t^2} \qquad mt^2+2t-m=0$
$\quad t>0 \quad に注意してこれを解くと$
$\quad t=\cfrac{-1+\sqrt{1+m^2}}{m}$
(2)
$\quad OC=d \quad とおくと \quad \sin \theta=\cfrac{a}{d}=\cfrac{b}{d+a+b}$
$\quad bd=a(d+a+b) \qquad d=\cfrac{a(b+a)}{b-a}$
$\quad \therefore \ \ \sin \theta=\cfrac{a}{d}=\cfrac{b-a}{b+a} \qquad \cfrac{1}{\sin \theta}=\cfrac{b+a}{b-a}$
$\quad \cfrac{1}{\sin ^2\theta}=1+\cfrac{1}{\tan ^2\theta} \quad に代入して \quad \big(\cfrac{b+a}{b-a}\big)^2=1+\cfrac{1}{t^2} \qquad \Big(\cfrac{\dfrac{b}{a}+1}{\dfrac{b}{a}-1}\Big)^2=\cfrac{1+t^2}{t^2}$
$\quad b > a \quad より \quad \cfrac{b}{a} > 1 \quad だから 両辺の平方根をとって \quad \cfrac{\dfrac{b}{a}+1}{\dfrac{b}{a}-1}=\cfrac{\sqrt{1+t^2}}{t} $
$\quad 1+\cfrac{2}{\dfrac{b}{a}-1}=\cfrac{\sqrt{1+t^2}}{t} \hspace{3em} \cfrac{2}{\dfrac{b}{a}-1}=\cfrac{\sqrt{1+t^2}}{t}-1=\cfrac{\sqrt{1+t^2}-t}{t}$
$\quad 両辺の逆数をとって \quad \cfrac{\dfrac{b}{a}-1}{2}=\cfrac{t}{\sqrt{1+t^2}-t}=t(\sqrt{1+t^2}+t)$
$\quad \therefore \ \ \cfrac{b}{a}=1+2t(\sqrt{1+t^2}+t)$
(3)
$\quad 0 < t < m \quad より \quad m \rightarrow +0 \quad のとき \quad t \rightarrow +0$
$\quad (1)より \quad m=\cfrac{2t}{1-t^2} \quad を代入して$
\begin{eqnarray*} & &\lim _{m \rightarrow +0} \cfrac{1}{m}\big(\cfrac{b}{a}-1\big)\\ \\ &=&\lim _{t \rightarrow +0} \cfrac{1-t^2}{2t} \times 2t(\sqrt{1+t^2}+t)\\ \\ &=&\lim _{t \rightarrow +0} (1-t^2)(\sqrt{1+t^2}+t)\\ \\ &=&1 \end{eqnarray*}
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