東北大学(理系) 2022年 問題3
\[正の整数 \ n\ に対して、S_n=\sum _{k=1}^n \Big(\sqrt{1+\cfrac{k}{n^2}}-1\Big) \quad とする。\]
$\qquad (1)\ \ 正の実数 \ x\ に対して、次の不等式が成り立つことを示せ。$
$\hspace{4em} \cfrac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x} -1 \leqq \cfrac{x}{2}$
\[(2)\ \ 極限値 \quad \lim _{n \rightarrow \infty} S_n \quad を求めよ。\]
$(解説)$
$(1)\ \ 微分法をつかうとかえって式変形が大変です。$
$(2)\ \ (1)で \ x=\cfrac{k}{n^2}\ とおいてはさみ打ちの原理をつかうことは予想できますが、左辺は \ \ k \leqq n \ \ を使いましょう。$
(1)
(i)$\ \ \sqrt{1+x} -1 \leqq \cfrac{x}{2} \quad の証明$
$\quad (\cfrac{x}{2}+1)^2 -(1+x)=(\cfrac{x^2}{4}+x+1)-(1+x)=\cfrac{x^2}{4} \geqq 0$
$\quad \therefore \ \ 1+x \leqq (\cfrac{x}{2} +1)^2$
$\quad 両辺とも正だから、平方根をとって \quad \sqrt{1+x} \leqq \cfrac{x}{2} +1$
$\qquad \therefore \ \ \sqrt{1+x}-1 \leqq \cfrac{x}{2} $
(ii)$\ \ \cfrac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x} -1 \quad の証明$
$\quad 相加・相乗平均の不等式より \quad 1+(1+x) \geqq 2\sqrt{1 \times (1+x)}$
$\quad 2+x \geqq 2\sqrt{1+x} \qquad \cfrac{2\sqrt{1+x}}{2+x} \leqq 1$
$\quad 両辺に \ \ \sqrt{1+x} \quad をかけて \qquad \cfrac{2(1+x)}{2+x} \leqq \sqrt{1+x} $
$\quad 1+ \cfrac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x} $
$\quad \therefore \ \ \cfrac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x} -1$
(i),(ii)$\ \ より \quad \cfrac{x}{2+x} \leqq \sqrt{1+x} -1 \leqq \cfrac{x}{2}$
(2)
$\quad (1)で \quad x=\cfrac{k}{n^2} \quad とおくと \quad \cfrac{\dfrac{k}{n^2}}{2+\dfrac{k}{n^2}} \leqq \sqrt{1+\cfrac{k}{n^2}} -1 \leqq \cfrac{\dfrac{k}{n^2}}{2}$
\[和をとって \quad \sum _{k=1}^n \cfrac{\dfrac{k}{n^2}}{2+\dfrac{k}{n^2}} \leqq S_n \leqq \sum _{k=1}^n \cfrac{k}{2n^2}\]
(i)$\ \ 右辺について$
\[\sum _{k=1}^n \cfrac{k}{2n^2}=\cfrac{1}{2n^2} \sum _{k=1}^n k=\cfrac{1}{2n^2} \times \cfrac{n(n+1)}{2}=\cfrac{n+1}{4n}\]
(ii)$\ \ 左辺について$
\[\sum _{k=1}^n \cfrac{\dfrac{k}{n^2}}{2+\dfrac{k}{n^2}}=\sum _{k=1}^n \cfrac{k}{2n^2+k} >\sum _{k=1}^n \cfrac{k}{2n^2+n} =\cfrac{1}{2n^2+n} \sum _{k=1}^n k=\cfrac{1}{n(2n+1)} \times \cfrac{n(n+1)}{2}=\cfrac{n+1}{2(2n+1)}\]
$\quad $ (i),(ii)$\ \ より \qquad \cfrac{n+1}{2(2n+1)} < S_n \leqq \cfrac{n+1}{4n}$
$\qquad n \longrightarrow \infty \quad とすると \quad \cfrac{n+1}{4n} \longrightarrow \cfrac{1}{4},\qquad \cfrac{n+1}{2(2n+1)} \longrightarrow \cfrac{1}{4}$
\[はさみ打ちの原理により \qquad \lim _{n \rightarrow \infty} S_n =\cfrac{1}{4}\]
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