東北大学(理系) 2021年　問題4


$座標平面において、次の条件\ (*)\ を満たす直線 \ l\ を考える。$
$\qquad (*)\quad l\ の傾きは \ 1\ で、曲線 \ \ y=x^3-2x\ \ と異なる \ 3\ 点で交わる。$
$その交点を \ x\ 座標が小さなものから順に \ P,\ Q,\ R\ とし、さらに線分 \ PQ\ の中点を \ S\ とする。$
$(1)\ \ 点 \ R\ の座標を \ (a,\ a^3-2a)\ とするとき、点 \ S\ の座標を求めよ。$
$(2)\ \ 直線 \ l\ が条件 \ (*)\ を満たしながら動くとき、点 \ S\ の軌跡を求めよ。$
$(3)\ \ 直線 \ l\ が条件 \ (*)\ を満たしながら動くとき、線分 \ PS\ が動いてできる領域の面積を求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ 点\ R\ の座標から点 \ P,\ Q\ の \ x\ 座標を満たす方程式が求められます。$
$(2)\ \ (1)より点 \ S\ の座標が \ a\ の式で求まれば、a\ を消去して軌跡が求まります。動ける範囲も求めます。$
$(3)\ \ (2)より点 \ S\ の軌跡が求まれば、点 \ P\ は与えられた曲線上を動くので領域がわかります。$

(1)

　
$y=x^3-2x \ \ は奇関数だからグラフは原点について対称。$

$y'=3x^2-2 \qquad y'=0 \quad より \quad x=\cfrac{\sqrt{6}}{3}$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} \hline x& 0 & \cdots & \dfrac{\sqrt{6}}{3} & \cdots \\ \hline y'& & - & 0 & + & \\ \hline y& & \searrow & 極小 & \nearrow & \\ \hline \end{array} \]
$x=\cfrac{\sqrt{6}}{3}\ で \ y\ は極小となり、極小値は \ \ y=\cfrac{2\sqrt{6}}{9}-\cfrac{2\sqrt{6}}{3}=-\cfrac{4\sqrt{6}}{9}$

$対称性から \quad x=-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\ で \ y\ は極大となり、極大値は \ \ y=\cfrac{4\sqrt{6}}{9}$

$l:y=x+b \quad とおくと 交点は$

$\quad x^3-2x=x+b \qquad x^3-3x-b=0$

$\quad x=a \ \ は解だから \quad a^3-3a-b=0 \qquad b=a^3-3a$

$よって交点の \ x\ 座標は \quad x^3-3x-a^3+3a=0 \qquad (x-a)(x^2+ax+a^2-3)=0 \ \ の解である。$

$P(\alpha,\ \alpha +b),\ \ Q(\beta,\ \beta+b),\ \ S(\gamma,\ \gamma+b)\ \ とおくと、\alpha,\ \beta \ は$

$\quad x^2+ax+a^2-3=0 \hspace{5em}①$

$の解である。$

$解と係数の関係より\quad \gamma =\cfrac{\alpha +\beta}{2}=-\cfrac{a}{2}$

$\quad \gamma +b=-\cfrac{a}{2}+a^3-3a=a^3-\cfrac{7}{2}a$

$したがって \quad S(-\cfrac{a}{2},\ a^3-\cfrac{7}{2}a)$

(2)


$(1)より \ \ S(-\cfrac{a}{2},\ a^3-\cfrac{7}{2}a) \quad だから \quad x=-\cfrac{a}{2},\quad y=a^3-\cfrac{7}{2}a \quad とおくと$

$a=-2x \quad を代入して \quad 　y=(-2x)^3-\cfrac{7}{2} \times (-2x)=-8x^3+7x$

$ただし、(1)の①式は異なる \ 2\ つの実数解 \ \alpha,\ \beta \ \ をもち、\alpha < a,\ \ \beta < a \ \ であるから$

$\quad \alpha - a < 0 , \quad \beta -a < 0 $

$よって条件は$

(i)$\ \ D=a^2-4(a^2-3) > 0 \quad より \quad a^2-4 < 0 \qquad -2 < a < 2$

(ii)$\ \ (\alpha -a)+(\beta -a) < 0 \quad より \quad \alpha +\beta <2a \qquad -a < 2a \qquad a > 0$

(iii)$\ \ (\alpha -a)(\beta -a) > 0 \quad より \quad \alpha \beta -a(\alpha +\beta)+a^2 >0 $

$\qquad \ \ (a^2-3)-a \times (-a) +a^2>0 \qquad a^2-1 > 0 \qquad a < -1 ,\ \ a >1 $

　
(i),(ii),(iii)$\ \ より\quad 1 < a < 2$

$a=-2x \quad だから \quad 　1 < -2x < 2 \qquad -1 < x <-\cfrac{1}{2}$

$したがって　点 \ S\ の軌跡は \quad 　y=-8x^3+7x \ \ (-1 < x <-\cfrac{1}{2})$

$グラフは右図のとおり$


$なお、a\ の値の範囲を求める別解として、次のような方法がある。$

$(1)の①式　\quad x^2+ax+a^2-3=0 \quad は異なる \ 2\ つの実数解 \alpha,\ \ \beta \ \ をもち、\alpha < a,\ \ \beta < a \ \ であるから$

(i)$\ \ D=a^2-4(a^2-3) >0 \quad より \quad -2 < a < 2$

(ii)$\ \ y=x^2+ax+a^2-3 \quad の軸について　\quad -\cfrac{a}{2} < a \quad より \quad a>0$

(iii)$\ \ x=a \ \ のときの \ y\ の値について \quad a^2+a^2+a^2-3 >0 \quad より \quad a^2-1>0$


(3)


　
$点 \ P\ は曲線 \ \ y=x^3-2x \ \ 上にあるから、線分 \ PS\ が動いてできる領域は$

$右図のとおりである。$

$a=1\ \ のとき \ \ ①式 \quad x^2+x-2=0 \quad より \quad x=-2 \quad よって \quad T(-2,\ -4)$

$また \quad U(-1,\ 1),\quad V(-\cfrac{1}{2},\ -\cfrac{5}{2}) $

$この領域の面積を \ S\ とすると$
\begin{eqnarray*} S &=&\int_{-2}^{-1}\{(x^3-2x)-(x-2)\}dx+\int_{-1}^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}\{(-8x^3+7x)-(x-2)\}dx\\ \\ &=&\int_{-2}^{-1}(x^3-3x+2)dx+\int_{-1}^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}(-8x^3+6x+2)dx\\ \\ &=&\big[\cfrac{x^4}{4}-\cfrac{3}{2}x^2+2x\big]_{-2}^{-1}+\big[-2x^4+3x^2+2x\big]_{-1}^{-\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}\\ \\ &=&\big(\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{2}-2\big)-(4-6-4)+\big(-\cfrac{1}{8}+\cfrac{3}{4}-1\big)-(-2+3-2)\\ \\ &=&\cfrac{27}{8} \end{eqnarray*}

ページの先頭へ↑




メインメニュー　に戻る