東北大学(理系) 2020年 問題5
$実数 \ t\ に対して複素数 \ z=\cfrac{-1}{t+i}\ を考える。ただし、i\ は虚数単位とする。$
$(1)\ \ z\ の実部と虚部をそれぞれ \ t\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ 絶対値 \ \Big|z-\cfrac{i}{2}\Big|\ を求めよ。$
$(3)\ \ 実数 \ t\ が \ \ -1 \leqq t \leqq 1 \ \ の範囲を動くとき、点 \ z\ はどのような図形を描くか、複素数平面上に図示せよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ ごく普通に \ a\ +\ b\ i\ の形に変形します。$
$(2)\ \ (1)を代入して、絶対値を計算します。$
$(3)\ \ (2)で図形が求まりますが、t\ の範囲の制限があるので、一部になります。$
(1)
$\quad z=\cfrac{-1}{t+i}=\cfrac{-(t-i)}{t^2+1}=-\cfrac{t}{t^2+1}+\cfrac{1}{t^2+1}i$
$\quad よって \quad z\ の実部は \quad Re(z)=-\cfrac{t}{t^2+1},\qquad z\ の虚部は \quad Im(z)=\cfrac{1}{t^2+1}$
(2)
\begin{eqnarray*} \Big|\ z-\cfrac{i}{2}\ \Big|^2 &=&\Big|-\cfrac{t}{t^2+1}+(\cfrac{1}{t^2+1}-\cfrac{1}{2})\ i\ \Big|^2\\ \\ &=&\Big(\cfrac{t}{t^2+1}\big)^2+\big(\cfrac{1}{t^2+1}-\cfrac{1}{2}\big)^2\\ \\ &=&\cfrac{t^2}{(t^2+1)^2}+\cfrac{(1-t^2)^2}{4(t^2+1)^2}\\ \\ &=&\cfrac{t^4+2t^2+1}{4(t^2+1)^2}\\ \\ &=&\cfrac{1}{4}\\ \end{eqnarray*} $\qquad \therefore \ \ \Big|\ z-\cfrac{i}{2}\ \Big|=\cfrac{1}{2}$
(3)
$(2)より \Big|\ z-\cfrac{i}{2}\ \Big|=\cfrac{1}{2} \quad だから \quad z\ は\ \ 中心 \ \ \cfrac{i}{2}, \quad 半径 \ \ \cfrac{1}{2}\ \ の円を描く。$
$\quad z=x+y\ i \quad とおくと$
$(1)より \quad Im(z)=\cfrac{1}{t^2+1} \quad だから \quad y=\cfrac{1}{t^2+1} $
$\quad -1 \leqq t \leqq 1 \quad より \quad 1 \leqq t^2+1 \leqq 2 \qquad \cfrac{1}{2} \leqq \cfrac{1}{t^2+1} \leqq 1$
$\quad よって \cfrac{1}{2} \leqq y \leqq 1$
$したがって z\ は右図のような半円を描く。$
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