東北大学(理系) 2020年 問題3
$n\ を正の整数、a,\ b\ を \ 0\ 以上の整数とする。$
$(1)\ \ n \geqq 3 \ \ のとき不等式 \ \ 2^n+n^2+8 < 3^n \ \ が成り立つことを示せ。$
$(2)\ \ 不等式 \ \ 2^n+n^2+8 \geqq 3^n \ \ を満たす \ n\ をすべて求めよ。$
$(3)\ \ 等式 \ \ 2^n+n^2+8 =3^n +an+b \ \ を満たす \ a,\ b,\ n\ の組 \ (a,\ b,\ n)\ をすべて求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ このような不等式には数学的帰納法が威力を発揮します。$
$(2)\ \ (1)と不等号の向きが異なる理由が答えになります。$
$(3)\ \ この問題がメインですが、(2)が使われます。$
(1)
$2^n+n^2+8 < 3^n \ \ (n \geqq 3)\ \ が成り立つことを数学的帰納法で示します。$
(i)$\ \ n=3 \quad のとき$
$\quad 左辺=2^3+3^2+8=25 , \qquad 右辺=3^3=27$
$\quad よって \quad n=3 \ \ のとき成りたつ$
(ii)$\ \ n=k \ \ (k \geqq 3)\ のとき成りたつとすると$
$\quad 2^k+k^2+8 < 3^k $
$このとき$
\begin{eqnarray*} & &2^{k+1}+(k+1)^2+8\\ \\ &=&2\cdot 2^k+k^2+2k+9\\ \\ &=&2(2^k+k^2+8)-k^2+2k-7\\ \\ &<&2\cdot 3^k-k^2+2k-7\\ \end{eqnarray*} $ここで$
\begin{eqnarray*} & &3^{k+1}-(2\cdot 3^k-k^2+2k-7)\\ \\ &=&3\cdot 3^k-2\cdot 3^k+k^2-2k+7\\ \\ &=&3^k+k^2-2k+7\\ \\ &=&3^k+(k-1)^2+6\\ \\ &>& 0\\ \end{eqnarray*}
$ゆえに \quad 2^{k+1}+(k+1)^2+8 < 2\cdot 3^k-k^2+2k-7 <3^{k+1} \quad となって \ \ n=k+1\ \ のときもなりたつ$
(i),(ii)$\ \ より \ n \geqq 3\ \ のすべての整数について \quad 2^n+n^2+8 < 3^n \ \ が成りたつ。$
(2)
$\quad 2^n+n^2+8 \geqq 3^n $
(i)$\ \ n=1\ \ のとき$
$\qquad 左辺=2+1+8=11,\qquad 右辺=3 \quad よって\ \ n=1\ \ は解である。$
(ii)$\ \ n=2\ \ のとき$
$\qquad 左辺=2^2+2^2+8=16,\qquad 右辺=3^2=9 \quad よって \ \ n=2\ \ は解である。$
(iii)$\ \ n \geqq 3 \ \ のとき$
$\quad (1)より \quad 2^n+n^2+8 < 3^n \quad が成りたつから \quad 2^n+n^2+8 \geqq 3^n \quad を満たす整数 \ n\ はない。$
(i),(ii),(iii)$\ \ より解は \ \ 1\ と \ 2$
(3)
$2^n+n^2+8 =3^n +an+b \quad より \quad 2^n+n^2+8 -3^n=an+b$
$a,\ b\ は \ 0\ 以上の整数だから \quad an+b \geqq 0 $
$よって \quad 2^n+n^2+8 \geqq 3^n $
$これを満たす整数 \ n\ は(2)より \ 1\ と \ 2\ のみである。$
(i)$\ \ n=1\ \ のとき$
$\qquad 左辺=2+1+8=11,\qquad 右辺=3+a+b$
$\quad \therefore \ \ a+b=8$
$これを満たす \ a,\ b,\ n(=1)\ は$
$\quad (a,\ b,\ n)=(0,\ 8,\ 1),\ (1,\ 7,\ 1),\ (2,\ 6,\ 1),\ (3,\ 5,\ 1),\ (4,\ 4,\ 1),\ (5,\ 3,\ 1),\ (6,\ 2,\ 1),\ (7,\ 1,\ 1),\ (8,\ 0,\ 1)$
(ii)$\ \ n=2\ \ のとき$
$\qquad 左辺=2^2+2^2+8=16,\qquad 右辺=3^2+2a+b$
$\quad \therefore \ \ 2a+b=7$
$これを満たす \ a,\ b,\ n(=2)\ は$
$\quad (a,\ b,\ n)=(0,\ 7,\ 2),\ (1,\ 5,\ 2),\ (2,\ 3,\ 2),\ (3,\ 1,\ 2)$
$求める \ a,\ b,\ n\ の組は、以上の \ 13\ 組である。$
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