東北大学(理系) 2020年 問題1
$AB=1,\ AC=1,\ BC=\cfrac{1}{2}\ \ である \ \triangle ABC\ の頂点 \ B\ から辺 \ AC\ に下ろした垂線と辺 \ AC\ との交点を \ H\ とする。$
$(1)\ \ \angle BAC \ を \ \theta \ と表すとき、\cos \theta ,\ \ \sin \theta \ の値を求めよ。$
$(2)\ \ 実数 \ s\ は \ \ 0 < s < 1 \ \ の範囲を動くとする。辺 \ BH\ を \ s:\ (1-s)\ に内分する点を \ P\ とするとき、$
$\quad AP^2+BP^2+CP^2 \ \ の最小値およびそのときの \ s\ の値を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 余弦定理より求まります。$
$(2)\ \ ベクトルを使いたくなりますが、単純に三平方の定理で求めた方が計算はずっと楽です。$
(1)
$\quad \triangle ABC に余弦定理を用いて$
$\qquad \cos \theta=\cfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB \cdot AC}=\cfrac{1^2+1^2-(\dfrac{1}{2})^2}{2 \times 1 \times 1}=\cfrac{7}{8}$
$\qquad \sin \theta =\sqrt{1-\big(\cfrac{7}{8}\big)^2}=\cfrac{\sqrt{15}}{8}$
(2)
$\qquad AH=AB\cos \theta=1 \times \cfrac{7}{8}=\cfrac{7}{8}$
$\qquad BH=AB\sin \theta=1 \times \cfrac{\sqrt{15}}{8}=\cfrac{\sqrt{15}}{8}$
$よって$
\begin{eqnarray*} & &AP^2+BP^2+CP^2\\ \\ &=&(AH^2+PH^2)+BP^2+(CH^2+PH^2)\\ \\ &=&AH^2+2PH^2+BP^2+CH^2\\ \\ &=&AH^2+2(1-s)^2BH^2+s^2BH^2+CH^2\\ \\ &=&AH^2+(3s^2-4s+2)BH^2+CH^2\\ \\ &=&\cfrac{49}{64}+\cfrac{15}{64}(3s^2-4s+2)+\cfrac{1}{64}\\ \\ &=&\cfrac{15}{64}\big\{3(s-\cfrac{2}{3})^2+\cfrac{2}{3}\big\}+\cfrac{50}{64}\\ \\ &=&\cfrac{45}{64}(s-\cfrac{2}{3})^2+\cfrac{15}{16}\\ \end{eqnarray*}
$よって \quad s=\cfrac{2}{3}\ \ のとき、最小値 \ \ \cfrac{15}{16}\ \ をとる。$
$(研究)$
$\quad \vec{AP}=(1-s)\vec{AB}+s\vec{AH}=(1-s)\vec{AB}+\cfrac{7}{8}s\vec{AC}$
$\quad \vec{BP}=s\vec{BH}=s(\vec{AH}-\vec{AB})=-s\vec{AB}+\cfrac{7}{8}s\vec{AC}$
$\quad \vec{CP}=\vec{AP}-\vec{AC}=(1-s)\vec{AB}+\cfrac{7}{8}s\vec{AC}-\vec{AC}=(1-s)\vec{AB}+(\cfrac{7}{8}s-1)\vec{AC}$
$\quad \vec{AB}\cdot \vec{AC}=|\vec{AB}||\vec{AC}| \cos \theta=\cfrac{7}{8}$
$よって$
\begin{eqnarray*} & &AP^2+BP^2+CP^2\\ \\ &=&|\vec{AP}|^2+|\vec{BP}|^2+|\vec{CP}|^2\\ \\ &=&|(1-s)\vec{AB}+\cfrac{7}{8}s\vec{AC}|^2+|-s\vec{AB}+\cfrac{7}{8}s\vec{AC}|^2+|(1-s)\vec{AB}+(\cfrac{7}{8}s-1)\vec{AC}|^2\\ \end{eqnarray*} $\hspace{7em} \vdots $
$このように、ベクトルによる方法は計算が大変になることがわかります。$
メインメニュー に戻る