東北大学(理系) 2019年 問題6
$10個の玉が入っている袋から \ 1\ 個の玉を無作為に取り出し、新たに白玉 \ 1\ 個を袋に入れるという試行を$
$繰り返す。初めに、袋には赤玉5個と白玉5個が入っているとする。この試行をm回繰り返したとき、$
$取り出した赤玉が全部でk個である確率を \ p(m,k)\ とする。2以上の整数nに対して、以下の問いに答えよ。$
$(1)\ \ p(n+1,2)\ を \ P(n,2)\ と \ p(n,1)\ を用いて表せ。$
$(2)\ \ p(n,1)\ を求めよ。$
$(3)\ \ p(n,2)\ を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 確率漸化式は樹形図をかけば関係が見つけ易くなります。$
$(2)\ \ p(n,1)の意味が理解できればn通りあることもわかります。$
$(3)\ \ p(n,2)を求めるために(1)と(2)がありました。この漸化式の解法もよほど慣れていないと求められない$
$\quad かもしれません。$
(1)
$n+1\ 回目に取り出した赤玉が全部で \ 2\ 個である事象は$
(i)$\ \ n回目までに赤玉が \ 1\ 個取り出されて$
$\hspace{4em} (この時点で袋の中には赤玉 \ 4\ 個、白玉 \ 6\ 個ある)$
$\qquad n+1\ 回目に赤玉が出る場合$
$\qquad この事象の確率は \quad p(n,1) \times \cfrac{4}{10}$
(ii)$\ \ n回目までに赤玉が2個取り出されて$
$\hspace{4em} (この時点で袋の中には赤玉 \ 3\ 個、白玉 \ 7\ 個ある)$
$\qquad n+1\ 回目に白玉が出る場合$
$\qquad この事象の確率は \quad p(n,2) \times \cfrac{7}{10}$
(i)と(ii)$は互いに排反だから、求める確率は$
$\qquad p(n+1,2)=\cfrac{7}{10}p(n,2)+\cfrac{4}{10}p(n,1)$
(2)
$p(n,1)はn回までに赤玉が1個取り出される確率だから、次のn通りの場合があり、その確率は$
$\qquad (R,W,W,\cdots ,W) \qquad \cfrac{5}{10} \times \cfrac{6}{10} \times \cfrac{6}{10} \times \cfrac{6}{10} \times \cdots \times \cfrac{6}{10}=\cfrac{5 \times 6^{n-1}}{10^n}$
$\qquad (W,R,W,\cdots ,W) \qquad \cfrac{5}{10} \times \cfrac{5}{10} \times \cfrac{6}{10} \times \cfrac{6}{10} \times \cdots \times \cfrac{6}{10}=\cfrac{5^2 \times 6^{n-2}}{10^n}$
$\qquad (W,W,R,\cdots ,W) \qquad \cfrac{5}{10} \times \cfrac{5}{10} \times \cfrac{5}{10} \times \cfrac{6}{10} \times \cdots \times \cfrac{6}{10}=\cfrac{5^3 \times 6^{n-3}}{10^n}$
$\hspace{10em} \vdots $
$\qquad (W,W,W,\cdots ,R) \qquad \cfrac{5}{10} \times \cfrac{5}{10} \times \cfrac{5}{10} \times \cfrac{5}{10} \times \cdots \times \cfrac{5}{10}=\cfrac{5^n \times 6^0}{10^n}$
$これらn個の事象は互いに排反だから求める確率はこれらの和になる。$
\begin{eqnarray*} p(n,1) &=&\cfrac{5 \times 6^{n-1}}{10^n}+\cfrac{5^2 \times 6^{n-2}}{10^n}+\cfrac{5^3 \times 6^{n-3}}{10^n}+\cdots + \cfrac{5^n \times 6^0}{10^n}\\ &=&\cfrac{5^n}{10^n}\big(\cfrac{5}{5^n} \times 6^{n-1}+\cfrac{5^2}{5^n} \times 6^{n-2}+\cfrac{5^3}{5^n} \times 6^{n-3}+\cdots + \cfrac{5^n}{5^n} \times 6^0 \big)\\ &=&\cfrac{5^n}{10^n}\Big\{(\cfrac{6}{5})^{n-1}+ (\cfrac{6}{5})^{n-2}+(\cfrac{6}{5})^{n-3}+\cdots + (\cfrac{6}{5})^0 \Big\}\\ &=&\cfrac{5^n}{10^n} \times \cfrac{1-(\cfrac{6}{5})^n}{1-\cfrac{6}{5}}\\ &=&5\times \cfrac{5^n}{10^n} \times \Big\{(\cfrac{6}{5})^n -1\Big\}\\ &=&5\Big\{(\cfrac{3}{5})^n-(\cfrac{1}{2})^n\Big\}\\ \end{eqnarray*}
(3)
$(1)\ \ より \quad p(n+1,2)=\cfrac{7}{10}p(n,2)+\cfrac{4}{10}p(n,1)$
$(2)\ \ より \quad p(n,1)=5\Big\{(\cfrac{3}{5})^n-(\cfrac{1}{2})^n\Big\}$
$だから$
$p(n+1,2)=\cfrac{7}{10}p(n,2)+2\Big\{(\cfrac{3}{5})^n-(\cfrac{1}{2})^n\Big\}$
$\quad p(n,2)=p_n,\quad a_n=2\Big\{(\cfrac{3}{5})^n-(\cfrac{1}{2})^n\Big\} \quad とおくと$
$p_{n+1}=\cfrac{7}{10}p_n+a_n$
$\quad 両辺を \ \ (\cfrac{7}{10})^{n+1}\ \ で割って$
$\cfrac{p_{n+1}}{(\cfrac{7}{10})^{n+1}}=\cfrac{p_n}{(\cfrac{7}{10})^n}+\cfrac{a_n}{(\cfrac{7}{10})^{n+1}}$
$\quad q_n=\cfrac{p_n}{(\cfrac{7}{10})^n},\quad b_n=\cfrac{a_n}{(\cfrac{7}{10})^{n+1}} \quad とおくと$
$q_{n+1}-q_n=b_n \quad (n \geqq 2)$
\[\therefore q_n=q_2+\sum_{k=2}^{n-1}b_k\]
$\qquad q_2=\cfrac{p_2}{(\cfrac{7}{10})^2}=(\cfrac{10}{7})^2p(2,2)=(\cfrac{10}{7})^2 \times \cfrac{5}{10} \times \cfrac{4}{10}=\cfrac{20}{49}$
\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n-1}b_k &=&\sum_{k=2}^{n-1}\cfrac{a_k}{(\cfrac{7}{10})^{k+1}}\\ \\ &=&\sum_{k=2}^{n-1}(\cfrac{10}{7})^{k+1} \times 2\Big\{(\cfrac{3}{5})^k-(\cfrac{1}{2})^k\Big\}\\ \\ &=&\sum_{k=2}^{n-1} \cfrac{20}{7}\cdot (\cfrac{10}{7})^k\big\{\cfrac{3}{5})^k-(\cfrac{1}{2})^k\Big\}\\ \\ &=&\cfrac{20}{7}\sum_{k=2}^{n-1}\Big\{(\cfrac{6}{7})^k -(\cfrac{5}{7})^k\Big\}\\ \\ &=&\cfrac{20}{7}\Big\{\cfrac{(\cfrac{6}{7})^2 \{1-(\cfrac{6}{7})^{n-2}\}} {1-\cfrac{6}{7}} - \cfrac{(\cfrac{5}{7})^2 \{1-(\cfrac{5}{7})^{n-2}\}} {1-\cfrac{5}{7}} \Big\}\\ \\ &=&20\Big\{(\cfrac{6}{7})^2 \{1-(\cfrac{6}{7})^{n-2}\} - \cfrac{1}{2}(\cfrac{5}{7})^2 \{1-(\cfrac{5}{7})^{n-2}\}\Big\}\\ \\ &=&20\times \cfrac{36}{49} - 20(\cfrac{6}{7})^n - 10 \times \cfrac{25}{49} +10(\cfrac{5}{7})^n\\ \\ &=&\cfrac{470}{49} - 20(\cfrac{6}{7})^n +10(\cfrac{5}{7})^n\\ \end{eqnarray*}
\[\therefore q_n=q_2+\sum_{k=2}^{n-1}b_k=\cfrac{20}{49}+\cfrac{470}{49} - 20(\cfrac{6}{7})^n +10(\cfrac{5}{7})^n =10- 20(\cfrac{6}{7})^n +10(\cfrac{5}{7})^n\] $したがって$
\begin{eqnarray*} p(n,2) &=&p_n\\ \\ &=&(\cfrac{7}{10})^n q_n\\ \\ &=&(\cfrac{7}{10})^n \Big\{10- 20(\cfrac{6}{7})^n +10(\cfrac{5}{7})^n \Big\}\\ \\ &=&10(\cfrac{7}{10})^n - 20(\cfrac{6}{10})^n +10(\cfrac{5}{10})^n \\ \\ &=&10(\cfrac{7}{10})^n - 20(\cfrac{3}{5})^n +10(\cfrac{1}{2})^n \\ \end{eqnarray*}
メインメニュー に戻る