対角線論法
$自然数は、1,2,3,\cdots と番号をつけることができる集合ですので、その全体の集合Nは、可付番集合$
$あるいは可算集合ともいわれています。$
$対角線論法は、実数全体の集合Rが可付番でないことを証明する方法です。$
$それでは、これを背理法で証明しましょう。$
$区間(0,1)の実数全体の集合 \ I \ のすべての要素にp_1,\ p_2,\ p_3,\ \cdots \ のように番号付けができたとします。$
$これらの数を小数展開して、小数部分を次のように並べます。$
$\qquad p_1=0.a_{11}a_{12}a_{13}\cdots$
$\qquad p_2=0.a_{21}a_{22}a_{23}\cdots$
$\qquad p_3=0.a_{31}a_{32}a_{33}\cdots$
$\hspace{3em} \vdots$
$このとき、区間(0,1)の新しい数qを次のように作ります。$
\[qの小数第1位の数字q_1は、q_1= \left\{ \begin{array}{l} a_{11}-1 \hspace{3em} (a_{11} \ne 0)\\ 1 \hspace{6em} (a_{11} =0 )\\ \end{array} \right. \] $とします。$
\[qの小数第2位の数字q_2は、q_2= \left\{ \begin{array}{l} a_{22}-1 \hspace{3em} (a_{22} \ne 0)\\ 1 \hspace{6em} (a_{22} =0 )\\ \end{array} \right. \] $一般に$
\[qの小数第n位の数字q_nは、q_n= \left\{ \begin{array}{l} a_{nn}-1 \hspace{3em} (a_{nn} \ne 0)\\ 1 \hspace{6em} (a_{nn} =0 )\\ \end{array} \right. \] $とします。$
$なぜこのように定めるかといいますと、実数ならではの次のような問題があるからです。$
$例えば、 0.1000 \cdots と表される数は、0.0999\cdots とも表されるからです。$
$そこで、qの各位の数字が9にならないように工夫した訳です。ですから例えば$
\[q_n= \left\{ \begin{array}{l} 3 \hspace{3em} (a_{nn} \ne 1,2)\\ 4 \hspace{3em} (a_{nn} =1,2 )\\ \end{array} \right. \] $としてもいいわけです。$
$証明に戻ります。$
$q=0.q_1q_2q_3 \cdots は1つの実数qの小数展開で表した数であり、a_nと小数第n位が異なっていますので$
$qはどのa_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots )\ とも異なっています。$
$これは、実数の集合(0,1)の要素に番号付けができることに矛盾しますので、番号付けはできないこと$
$になります。つまり、可付番ではありません。$
$ここで使われた論理展開を『対角線論法』といいますが、集合論の創始者カントールの天才的な着想$
$には感動すら覚えます。$
$なお、集合Aから集合Bへの1対1対応が存在するとき、AとBは濃度(基数あるいはカーディナル数$
$ともいいます)が同じといいます。$
$集合(0,1)からR(実数全体)への1対1対応は例えば、$
$\qquad y=\tan \pi (x-\cfrac{1}{2})$
$がありますので、(0,1)とRは同じ濃度をもちます。$
$整数全体や有理数全体は自然数全体と1対1対応がつきますので、同じ濃度で\aleph _0(アレフ ゼロ)とかかれ、$
$実数全体の濃度は\aleph (アレフ:ヘブライ語) とかかれます。$
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