空間における直線と平面の直交の定義と定理

 

定義

$空間において、直線lと平面\alpha が交わるとき、その交点Oを$
$通る、\alpha 上のすべての直線がlと垂直のとき、lは\alpha に垂直で$
$あるといい、l⊥\alpha \ と書く。$

定理

$空間において、直線 l と平面 \alpha が点Oで交わるとき、Oを$
$通る\alpha 上の2直線が、l と垂直ならば、l は\alpha に垂直である。$

これは、高校の教科書にも載っている(いた?)定義と定理であるが、釈然としないものがある。
$それは、定義に「\alpha 上のすべての直線」を持ち出している点である。$

$それが次の定理で「\alpha 上の2直線」でよいと証明されるが、ならば、なぜ上の定理と定義を$
入れ換えないのかと疑問が湧くのである。

そこで

定義

$空間において、直線l と平面\alpha が点Oで交わるとき、その交点Oを通る\alpha 上の2直線がlと$
$垂直のとき、lは\alpha に垂直であるといい、l⊥\alpha と書く。$

 

定理1

$空間において、直線lと平面\alpha が垂直ならば、$
$その交点Oを通る、\alpha 上のすべての直線は\alpha $
に垂直である。

(証明)

$直線 l 上で、点Oを挟んだ両側に2点P,P'$
$をとってOP=OP'とする。$
$直線lと平面\alpha が垂直だから、新定義よりOを$
$通る\alpha 上の2直線 a、b は l と垂直である。$

$a,b上にOと異なる点をとり、それぞれA,Bとする。$
$Oを通る\alpha 上の任意の直線を m とし、直線ABとの交点をMとする。$
$(任意の直線m でいえれば、すべての直線で成りたつことになる。)$

(i)$\ △OAPと△OAP'において$
$\qquad ∠AOP=∠AOP'=90°, \ OP=OP' , \ OAは共通$
$\qquad よって、2辺とその間の角が等しいから △OAP \equiv △OAP'$
$\qquad したがって AP=AP'$

(ii)$\ △OBPと△OBP'において$
$\qquad $ (i)と同様にして $△OBP \equiv △OBP' より、BP=BP' $

(iii)$\ △ABPと△ABP'において$
$\qquad $(i),(ii)より$AP=AP' , BP=BP', ABは共通$
$\qquad よって 3辺が等しいから △ABP \equiv △ABP'$

(iv)$\ △AMPと△AMP'において$
$\qquad $(i)より $AP=AP'$
$\qquad $(iii)より $∠MAP=∠MAP'$
$\qquad AMは共通$
$\qquad よって、2辺とその間の角が等しいから、△AMP \equiv △AMP'$

(v)$\ △OMPと△OMP'において$
$\qquad 仮定より OP=OP'$
$\qquad $(iv)より $MP=MP'$
$\qquad OMは共通$
$\qquad よって、3辺が等しいから △OMP \equiv △OMP'$

$したがって ∠POM=∠P'OM となり ∠POM=90°$
$すなわち l ⊥ m$


このように、定義と定理を入れ換えた新定義と新定理でも同じであるのだが、なぜ昔の偉い
先生は、このような方法をとったのであろうか。
定義はなるべく幅広く取った方がその後の展開に都合がいいからか。浅学の私にはわからない。


もう少し続けます。ここからは、よくある内容です。!!

 

定理2

$直線 l が、平面\alpha と点O'で交わっている。l が、\alpha 上の$
$点Oで交わる2直線 a、bに垂直ならば、l は\alpha に垂直である。$
これを式で表すと
$\hspace{3em} l⊥a、l⊥b \rightarrow  l⊥\alpha $

(証明)

$平面\alpha 上で、点O'を通り、a、bに平行な直線をそれぞれ a',b'とする。$
$lとaのなす角は、lとa'のなす角に等しいので、$
$\qquad l⊥a より  l⊥a'$

$同様にして l⊥b より  l⊥b'$

$よって、 lは点O'で交わる\alpha 上の2直線に垂直だから定理1より l⊥\alpha $

 

定理3

$直線 l と平面\alpha が垂直ならば、l は\alpha 上のすべての(任意の)$
直線に垂直である。

(証明)


$l と\alpha の交点をOとし、\alpha 上の任意の直線を a とする。a に平行でOを通る直線を a' とすると$
$\qquad l⊥\alpha  より l⊥a'$

$よって l は a に垂直となる。$


 

定理4(3垂線の定理)

$(1)\quad 平面\alpha 外の点Aより\alpha に下ろした垂線の足をO、Aより$
$\quad 平面\alpha 上の直線l に下ろした垂線の足をBとすれば、$
$\quad OBとl は直交する。すなわち$

$\hspace{2em} AO⊥\alpha 、AB⊥l \rightarrow  OB⊥l$

(証明)


$AO⊥\alpha で、lは平面\alpha 上の直線だから、定理3より AO⊥l$
$仮定より AB⊥l だから、 l は点Aで交わる2直線AO,ABに垂直となり$
$定理1より  l ⊥(平面ABO)$
$よって、OBは平面ABO上の直線だから OB⊥l $


$(2)\quad 平面\alpha 外の点Aより\alpha に下ろした垂線の足をO,Oより平面\alpha 上の直線l に下ろした垂線の$
$\quad 足をBとすれば、ABとl は直交する。すなわち$

$\hspace{2em}AO⊥\alpha , \ OB⊥l \rightarrow  AB⊥l$

(証明)

$AO⊥\alpha で、lは平面\alpha 上の直線だから、定理3より AO⊥l$
$仮定より OB⊥l だから l は点Oで交わる、2直線AO,OBに垂直となり、定理1より$
$\hspace{3em} l ⊥ 平面ABO $
$よって、ABは平面ABO上の直線だから AB⊥ l$


 
$(3)\quad 平面\alpha 外の点Aより\alpha 上の直線 l に下ろした垂線の$
$\quad 足をB、\alpha 上でBを通り、l に垂直な直線を b 、Aより$
$\quad b に下ろした垂線の足をOとすれば、AOと平面\alpha は$
$\quad 直交する。すなわち$

$\hspace{2em} AB⊥ l, \ OB⊥ l,\ AO⊥OB \rightarrow \ AO⊥\alpha $

(証明)


$AB⊥l、OB⊥l より\ \ l は点Bで交わる2直線に垂直だから、l ⊥(平面ABO)$
$よって l ⊥AO$
$仮定より AO⊥OB$
$よって AOは点Bで交わる、2直線 b,l に垂直となり AO⊥\alpha $


$なお、(3)は平面\alpha 外の点Aから\alpha に垂線AOを下ろす方法を示している。$




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