置換群
4 互換
\[ 置換 \quad \left( \begin{array}{rr} a & b \\ b & a \\ \end{array} \right) \quad は2文字の巡回置換 \ \ \left( \begin{array}{rr} a & b \\ \end{array} \right) \ \ であらわされるが、これを互換といいます。 \]
$定理1$
$\qquad n文字の巡回置換は \ n-1\ 個の互換の積で表される。$
$(証明)$
\[ \left( \begin{array}{rr} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} a_1 & a_2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a_1 & a_3 \\ \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array}{rr} a_1 & a_n \\ \end{array} \right) \]
$\quad と表されることが右辺を計算すればわかる。$
$例1$
\[ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 3 & 6 & 8 & 5 & 7 & 2 & 4 & 1\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 1 & 3 & 8 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 2 & 6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 4 & 5 & 7 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & 8 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 2 & 6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 4 & 5 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 4 & 7 \\ \end{array} \right) \]
\[ 定理2\\ \qquad 任意の互換 \ \ \left( \begin{array}{rr} a_i & a_j \\ \end{array} \right) \quad (i \ne j ,\ \ i \ne1,\ \ j \ne 1)\ \ は \ a_1\ を含む互換の積で表わすことができる。 \]
$(証明)$
\[ 実際、 \left( \begin{array}{rr} a_i & a_j \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} a_1 & a_i \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a_1 & a_j \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a_1 & a_i \\ \end{array} \right) \quad と表わすことができる。 \]
$(注意1)\quad a_1の代わ\ \ りに \ a_k \ \ (k \ne i,\ \ k \ne j)\ \ を用いることも同じである。$
$(注意2)\quad 右辺の各互換には \ a_1\ が含まれているので順序を入れ替えることはできない。$
$例2$
\[ \left( \begin{array}{rrr} a & b & c & d\\ d & a & b & c\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} a & d & c & b\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} a & d \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a & c \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a & b \\ \end{array} \right) \]
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