置換群
3 巡回置換
\[ 置換 \quad \left( \begin{array}{rrr} a_1 & a_2 & \cdots & a_k & a_{k+1} & \cdots & a_n\\ a_2 & a_3 & \cdots & a_1 & a_{k+1} & \cdots & a_n\\ \end{array} \right) \quad は \]
$\qquad a_1 \rightarrow a_2 \rightarrow a_3 \rightarrow \cdots \rightarrow a_k \rightarrow a_1 \ \ と置き換え、 a_{k+1},\cdots ,a_n \ \ は自分自身に置き換える置換です。$
\[ このような置換を巡回置換といい、簡単に \left( \begin{array}{rrr} a_1 & a_2 & \cdots & a_k \\ \end{array} \right) と表します。 \]
$置換を表すのに、英文字以外に数字もよく使われます。$
\[ \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \\ \end{array} \right) \quad は4個の数字の置換であるが、これは\\ \] \[ 1 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1 \quad で \quad 2 \rightarrow 2 \quad だから \quad \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 4 \\ \end{array} \right) \quad と表されます。 \]
$また、置換は2つ以上の巡回置換の積で表されることもあります。$
\[ p= \quad \left( \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 5 & 1 \\ \end{array} \right) \quad は、1 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 1 ,\quad 2 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \quad だから \quad p= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 5 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 \\ \end{array} \right) \quad とも表されます。\\ \] \[ なお、 \quad \left( \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 5 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 2 & 3 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 5 \\ \end{array} \right) \quad と表すことも可能です。\\ \]
$定理$
$\qquad 単位置換でない任意の置換は、同じ文字を含まない巡回置換の積で表すことができる。$
$(証明)$
$\qquad任意のn文字 \ \ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_n\ \ の置換において$
$\hspace{4em} a_1 \rightarrow a_2 \rightarrow a_3 \rightarrow \cdots \rightarrow a_k \quad とする。$
$\qquad a_k \ の置換先は、a_2\ でも \ a_3\ でも \ \cdots \ a_{k-1}\ でもないから \ a_1\ である。$
\[ よって、巡回置換 \quad \left( \begin{array}{rrrr} a_1 & a_2 & \cdots & a_k \\ \end{array} \right) \quad が得られる。\\ \] $\qquad k < n \ \ のときは \ a_{k+1}\ 以降の残り \ n-k\ 個の文字について上と同様なことを行なって、$
\[ 文字が異なる巡回置換 \quad \left( \begin{array}{rrrrr} a_{k+1} & a_{k+2} & \cdots & a_l \\ \end{array} \right) \quad を得るか、残りが自分自身に移される \] $\qquad 長さ \ 1\ の巡回置換で表されるかのどちらかとなる。$
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