置換群
2 置換の積
$置換を簡単にp,\ q,\ r,などと表します。$
\[ 3文字a,\ b,\ c\ の2つの置換 \quad p= \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ a & c & b\\ \end{array} \right) ,\quad q= \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ b & a & c\\ \end{array} \right) \ \ について \]
$これらの置換をこの順に引き続き行うと、$
\[ a \rightarrow a \rightarrow b,\quad b \rightarrow c \rightarrow c, \quad c \rightarrow b \rightarrow a \quad だから \quad r= \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ b & c & a\\ \end{array} \right) \quad という置換となります。\\ \]
\[ これを置換の積といい、 \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ a & c & b\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ b & a & c\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ b & c & a\\ \end{array} \right)\\ \]
$\quad あるいは単に \quad pq=r \quad と書きます。$
$(注意)$
$\qquad 置換の積は、先におこなう置換を左に、引き続きおこなう置換を右にかくことになっています。$
\[ なお、 \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ b & a & c\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ a & c & b\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} a & b & c\\ c & a & b\\ \end{array} \right) \quad だから pq \ne qp \quad であり、\\ \]
$\quad 置換の積は交換法則は成りたちません。$
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