解と係数の関係


$(1)\ \ 2次方程式の場合$

$\quad ax^2+bx+c=0\ \ (a \ne 0)\ \ の解は \quad x=\cfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \quad (\ D=b^2-4ac\ ) \ \ だから$

$\qquad \alpha=\cfrac{-b + \sqrt{D}}{2a},\quad \beta=\cfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} \quad とおくと$

$\qquad \alpha +\beta =\cfrac{-b + \sqrt{D}}{2a}+\cfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}=-\cfrac{b}{a}$

$\qquad \alpha \beta =\cfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} \times \cfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}=\cfrac{(-b)^2-(\sqrt{D})^2}{4a^2}=\cfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\cfrac{c}{a}$

$これを2次方程式の解と係数の関係といいますが、教科書ではこのように記述されています。$
$この方法は、すごく簡単で理解しやすいのですが、大きな欠点があります。$
$それは、解を求める公式が使われていることです。$

$3次方程式の解と係数の関係を導く場合には、この方法では不可能とはいいませんがかなり困難でしょう。$
$そこで、3次方程式を例に別の方法を考えましょう。$

$(2)\ \ 3次方程式の場合$

$\quad ax^3+bx^2+cx+d=0 \ \ (a \ne 0)\ \ は3個の解をもつ \ \ (後述　代数学の基本定理)から、それらを\alpha,\beta,\gamma とする。$
$\quad f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \ \ とおくと \ \ \alpha,\beta,\gamma \ は \ f(x)=0\ の解だから$

$\qquad f(\alpha)=0,\quad f(\beta)=0,\quad f(\gamma)=0$

$\quad 因数定理より、f(x)\ は \ \ x-\alpha,\quad x-\beta,\quad x-\gamma \ \ を因数にもつ。$

$\quad x^3の係数はaだから \quad f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \ \ とおける。$

$右辺を展開して $

$\qquad f(x)=ax^3-a(\alpha +\beta +\gamma)x^2+a(\alpha \beta + \beta \gamma +\gamma \alpha )x-a\alpha \beta \gamma$

$係数を比べて$

$\qquad b=-a(\alpha +\beta +\gamma) ,\quad c=a(\alpha \beta + \beta \gamma +\gamma \alpha ) ,\quad d=-a\alpha \beta \gamma$

$したがって$
$\qquad \alpha +\beta +\gamma =-\cfrac{b}{a},\quad \alpha \beta + \beta \gamma +\gamma \alpha =\cfrac{c}{a},\quad \alpha \beta \gamma =-\cfrac{d}{a}$

$これが3次方程式の解と係数の関係ですが、このようにすれば、解の公式を表に出さずとも導くことができます。$

$なお、この関係式は \ \alpha,\ \beta,\ \gamma \ の順に1次式,2次式,3次式になっていることに注意しましょう。$


$(3)\ \ n次方程式の場合$

$\quad f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+ \cdots +a_{n-1}x+a_n=0 \ \ (a_0 \ne 0)$

$は \ n\ 個の解をもつからそれらを \quad x_1,\ \ x_2,\ \ \cdots,\ \ x_n \ \ とする。$

$\quad f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n) \ \ を展開して係数を比べると$
\[\sum _{i}x_i=(-1)\cfrac{a_1}{a_0}\] \[\sum _{i < j}x_ix_j=(-1)^2\cfrac{a_2}{a_0}\] \[\sum _{i < j < k}x_ix_jx_k=(-1)^3\cfrac{a_3}{a_0}\] $\hspace{5em}\vdots$
$\hspace{3em} x_1x_2 \cdots x_n=(-1)^n\cfrac{a_n}{a_0}$


$(補充)\ \ 代数学の基本定理 \ \ (オイラー、ガウス)$

$\quad 複素数係数のn次代数方程式$

$\qquad a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots + a_{n-1}z+a_n=0 \quad (a_0 \ne 0)$

$\quad は \ n\ 個(重解はそれも含めて)の複素数解をもつ。$



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