静岡大学(理系) 2025年　問題4


$n\ を正の整数とする。このとき、次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ a\ を \ 0\ でも \ 1\ でもない実数とする。このとき、次の等式が成り立つことを示せ。$
\[\hspace{3em} \sum_{k=1}^n ka^{k-1} =\dfrac{na^{n+1}-(n+1)a^n+1}{(a-1)^2}\] \[(2)\ \ 次の等式が成り立つことを示せ。 \qquad \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{2^{k-1}} < 4 \] \[(3)\ \ 次の等式が成り立つことを示せ。 \qquad \sum_{k=1}^n \dfrac{2k-1}{2^{2k-1}} < \dfrac{10}{9} \]


(1)


$S_n=1 +2a+3a^2+\cdots +(n-1)a^{n-2}+na^{n-1}$

$aS_n=\hspace{1em}1\cdot a+2a^2+3a^3 + \cdots +(n-1)a^{n-1}+na^n$

$辺々引いて$

\begin{eqnarray*} (1-a)S_n &=&1+a+a^2+ \cdots +a^{n-1}-na^n\\ \\ &=&\dfrac{1-a^n}{1-a} -na^n\\ \\ &=&\dfrac{1-a^n-n(1-a)a^n}{1-a}\\ \\ &=&\dfrac{na^{n+1}-(n+1)a^n+1}{1-a}\\ \end{eqnarray*}
$S_n=\dfrac{na^{n+1}-(n+1)a^n+1}{(1-a)^2}$

$よって$
\[\sum_{k=1}^n ka^{k-1} =\dfrac{na^{n+1}-(n+1)a^n+1}{(a-1)^2}\]

(2)


$(1)式で、a=\dfrac{1}{2} \ \ とおくと$
\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k\big(\dfrac{1}{2}\big)^{k-1} &=&\dfrac{n(\dfrac{1}{2})^{n+1}-(n+1)(\dfrac{1}{2})^n+1}{(\dfrac{1}{2}-1)^2}\\ \\ &=&4\big(\dfrac{n}{2^{n+1}} - \dfrac{n+1}{2^n} +1\big)\\ \\ &=&4\big(\dfrac{n-2(n+1)}{2^{n+1}} +1\big)\\ \\ &=&4\big(1-\dfrac{n+2}{2^{n+1}} \big)\\ \\ &<&4 \end{eqnarray*} \[\therefore \ \ \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{2^{k-1}} < 4 \]

(3)

\[\sum_{k=1}^n \dfrac{2k-1}{2^{2k-1}}=\sum_{k=1}^n \dfrac{2k}{2^{2k-1}} -\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^{2k-1}}\]
\begin{eqnarray*} 第1項 &=&\sum_{k=1}^n \dfrac{4k}{2^{2k}}\\ \\ &=&\sum_{k=1}^n \dfrac{4k}{4^k}\\ \\ &=&\sum_{k=1}^n k\big(\dfrac{1}{4}\big)^{k-1} \hspace{8em}(\ (1)でa=\dfrac{1}{4} \ \ とおく)\ \\ &=&\dfrac{n(\dfrac{1}{4})^{n+1}-(n+1)(\dfrac{1}{4})^n+1}{(\dfrac{1}{4}-1)^2}\\ \\ &=&\dfrac{16}{9}\big(\dfrac{n}{4^{n+1}}-\dfrac{n+1}{4^n}+1\big)\\ \\ &=&\dfrac{16}{9}\big(\dfrac{n-4(n+1)}{4^{n+1}}+1\big)\\ \\ &=&\dfrac{16}{9}\big(1-\dfrac{3n+4}{4^{n+1}}\big)\\ \end{eqnarray*} \[第2項=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^{2k-1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\big\{1-\big(\dfrac{1}{2^2}\big)^n\big\}}{1-\dfrac{1}{2^2}} =\dfrac{2}{3}\big(1-\dfrac{1}{4^n}\big)\]
\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \dfrac{2k-1}{2^{2k-1}} &=&\dfrac{16}{9}\big(1-\dfrac{3n+4}{4^{n+1}}\big) - \dfrac{2}{3}\big(1-\dfrac{1}{4^n}\big)\\ \\ &=&\dfrac{10}{9} -\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3n+4}{4^n} + \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4^n}\\ \\ &=&\dfrac{10}{9} +\dfrac{-4(3n+4)+6}{9 \cdot 4^n} \\ \\ &=&\dfrac{10}{9} -\dfrac{12n+10}{9 \cdot 4^n} \\ \\ &<&\dfrac{10}{9} \end{eqnarray*}

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