静岡大学(理系) 2025年　問題2


$i\ を虚数単位とし、 \alpha =\sqrt{3}+i \ \ とする。1\ 個のさおいころを \ 2\ 回投げて、出た目を順に \ k,\ l\ とするとき$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ \alpha \ を極形式で表せ。ただし、偏角 \ \theta \ の範囲は \ \ 0 \leqq \theta < 2\pi \ \ とする。$
$(2)\ \ \alpha ^{kl} \ \ が実数となる確率を求めよ。$
$(3)\ \ \alpha ^{kl} \ \ の実部が正となる確率を求めよ。$


(1)


$|\alpha|=\sqrt{3+1}=2$

$\arg \alpha=\theta \ \ は \quad \tan \theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ \ より \quad \theta=\dfrac{\pi}{6}$

$\therefore \ \ \alpha=2\big(\cos \dfrac{\pi}{6} +i\sin \dfrac{\pi}{6}\big)$


(2)


$(1) より\ \ \alpha ^{kl} =2^{kl}\big(\cos \dfrac{kl}{6}\pi +i\sin \dfrac{kl}{6}\pi\big)$

$\alpha ^{kl} \ \ が実数となるのは\ \ 虚部=0 \ \ の場合だから$

$\sin \dfrac{kl}{6}\pi=0 \ \ より \quad \dfrac{kl}{6}\pi=m\pi\ \ (m\ は整数)$

$kl=6m \ \ これをみたす \ (k,\ l)\ を求める。$

(i)$\ \ m=1 \ \ のとき \quad kl=6 \ \ だから \quad (1,\ 6),\ \ (2,\ 3),\ \ (3,\ 2),\ \ (6,1)\ \ の \ 4\ 通り$

(ii)$\ \ m=2 \ \ のとき \quad kl=12 \ \ だから \quad (2,\ 6),\ \ (3,\ 4),\ \ (4,\ 3),\ \ (6,2)\ \ の \ 4\ 通り$

(iii)$\ \ m=3 \ \ のとき \quad kl=18 \ \ だから \quad (3,\ 6),\ \ (6,\ 3) \ \ の \ 2\ 通り$

(iv)$\ \ m=4 \ \ のとき \quad kl=24 \ \ だから \quad (4,\ 6),\ \ (6,\ 4) \ \ の \ 2\ 通り$

(v)$\ \ m=5 \ \ のとき \quad kl=30 \ \ だから \quad (5,\ 6),\ \ (6,\ 5) \ \ の \ 2\ 通り$

(vi)$\ \ m=6 \ \ のとき \quad kl=36 \ \ だから \quad (6,\ 6) \ \ の \ 1\ 通り$

$全部で \quad 4+4+2+2+2+1=15\ \ 通り$

$\alpha ^{kl} \ \ が実数となる確率は \quad \dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}$


(3)


$\alpha ^{kl} \ \ の実部が正となるのは \quad \cos \dfrac{kl}{6}\pi > 0 \ \ の場合だから$

$-\dfrac{\pi}{2}+2m\pi < \dfrac{kl}{6}\pi < \dfrac{\pi}{2}+2m\pi \ \ (m\ は整数)$

$-\dfrac{1}{2}+2m < \dfrac{kl}{6} < \dfrac{1}{2}+2m $

$-3+12m < kl < 3+12m \ \ これをみたす \ (k,\ l)\ を求める。$

(i)$\ \ m=0 \ \ のとき \quad -3 < kl < 3 \ \ だから \quad (1,\ 1),\ \ (1,\ 2),\ \ (2,\ 1),\ \ の \ 3\ 通り$

(ii)$\ \ m=1 \ \ のとき \quad 9 < kl < 15 \ \ だから \quad (2,\ 5),\ \ (2,\ 6),\ \ (3,\ 4),\ \ (4,\ 3),\ \ (5,\ 2),\ \ (6,\ 2)\ \ の \ 6\ 通り$

(ii)$\ \ m=2 \ \ のとき \quad 21 < kl < 27 \ \ だから \quad (4,\ 6),\ \ (5,\ 5),\ \ (6,\ 4),\ \ の \ 3\ 通り$

(iv)$\ \ m=3 \ \ のとき \quad 33 < kl < 39 \ \ だから \quad (6,\ 6) \ \ の \ 1\ 通り$

$全部で \quad 3+6+3+1=13\ \ 通り$

$\alpha ^{kl} \ \ の実部が正となる確率は \quad \dfrac{13}{36}$


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