静岡大学(理系) 2025年　問題1


$正の整数 \ n\ に対して、f(x)=e^x(1-e^x)^n \ \ とする。ただし、e\ は自然対数の底である。このとき、$
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ x < 0 \ において \ f(x)\ はただ \ 1\ つの極値をとることを示し、その極値および極値をとる \ x\ の値を \ n\ を$
$\quad 用いて表せ。$
\[(2)\ \ (1)で求めた極値をとる \ x\ の値を \ a_n \ とする。t=1-e^x \ \ とおくことで、定積分 \ \ \int_{a_n}^0 f(x)dx \ \ の値を\] $\quad n\ を用いて表せ。$
\[(3)\ \ (2)で求めた \ a_n\ に対して、極限値 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty}(n+1)\int_{a_n}^0 f(x)dx\ \ を求めよ。\]


(1)

\begin{eqnarray*} f'(x) &=&e^x(1-e^x)^n + e^x \times n(1-e^x)^{n-1}(-e^x)\\ \\ &=&e^x(1-e^x)^{n-1}\big\{(1- e^x)- ne^x\big\}\\ \\ &=&-e^x(1-e^x)^{n-1}\big\{(n+1)e^x -1 \big\}\\ \end{eqnarray*} $f'(x)=0 \ \ より$

$e^x=1 \ \ のとき \quad x=0$

$e^x=\dfrac{1}{n+1} \ \ のとき \quad x=-\log(n+1)$

　

$増減表$
\[ \begin{array}{c||c|c|c|c|c} x & \cdots & -\log(n+1) & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline f'(x)& + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$x < 0 \ \ においては \ \ x=-\log(n+1)\ \ で極大となり、極大値は$

$f(-\log(n+1))=\dfrac{1}{n+1}\big(1-\dfrac{1}{n+1}\big)^n=\dfrac{1}{n+1}\big(\dfrac{n}{n+1}\big)^n$

$なお \ \ y=f(x) \ のグラフは右図のとおり$


(2)


$a_n=-\log(n+1)$
\[ t=1-e^x \ \ とおくと \qquad dt=-e^x dx \qquad \begin{array}{c|c} x & 0\ \ \rightarrow \ a_n \quad \\ \hline t & \ 0 \rightarrow \dfrac{n}{n+1} \\ \end{array} \] \begin{eqnarray*} I &=&\int_{a_n}^0 f(x)dx \\ \\ &=&\int_{a_n}^0 e^x(1-e^x)^n dx\\ \\ &=&\int_0^{\scriptsize{\dfrac{n}{n+1}}} t^ndt\\ \\ &=&\dfrac{1}{n+1}\big[t^{n+1}\big]_0^{\scriptsize{\dfrac{n}{n+1}}}\\ \\ &=&\dfrac{1}{n+1}\big(\dfrac{n}{n+1}\big)^{n+1} \end{eqnarray*}

(3)


\begin{eqnarray*} J &=&(n+1)I\\ \\ &=&\big(\dfrac{n}{n+1}\big)^{n+1}\\ \\ &=&\big(\dfrac{1}{\dfrac{n+1}{n}}\big)^{n+1}\\ \\ &=&\dfrac{1}{\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^{n+1}}\\ \\ &=&\dfrac{1}{\big(1+\dfrac{1}{n}\big)\big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n}\\ \end{eqnarray*}
$n \longrightarrow \infty \ \ とすると \quad \big(1+\dfrac{1}{n}\big)^n \longrightarrow e \ \ だから$

\[\lim_{n \rightarrow \infty}(n+1)\int_{a_n}^0 f(x)dx =\dfrac{1}{e}\]

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