信州大学(数学) 2025年 問題5
$n\ を自然数とする。各項が \ 1から \ nまでの整数のいずれかであり、項数が \ 10\ である数列を考える。$
$(1)\ \ n=3\ のとき、最大の項と最小の項の差が \ 1\ である数列は何通りあるか。$
$(2)\ \ n \geqq 4 \ \ のとき、最大の項と最小の項の差が \ n-1\ である数列は何通りあるか。$
\[(3)\ \ (2)で求めた数列の個数を \ A_n \ とする。極限 \ \ \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{A_n}{n^8}\ \ を求めよ。\]
(1)
$項数が \ 10\ である数列 \ \ a_1,\ a_2,\ \cdots ,\ a_{10}\ \ を \ \ (a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10})\ \ とあらわすことにすると$
$数列の個数は、順序対 \ (a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10})\ \ の個数でもある。$
$n=3\ のとき、最大の項と最小の項の差が \ 1\ である数列は$
(i)$\ \ 各項が \ \ \{1,\ 2\}\ \ のとき$
$\quad 1\ が \ k\ 個、2\ が \ (10-k)\ 個\ \ (k=1～9)\ \ である順序対の個数は、{}_{10}C_k \ \ 個あるから$
\[\quad 全部で \quad \sum_{k=1}^9 {}_{10}C_k \ \ 個\] \[\quad ここで、(1+1)^{10}= \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k \quad だから\] \[\quad \sum_{k=1}^{9} {}_{10}C_k =2^{10}-{}_{10}C_0-{}_{10}C_{10}=2^{10}-2\]
(ii)$\ \ 各項が \ \ \{2,\ 3\}\ \ のとき$
$\quad $(i)$\ \ と全く同様にして \quad 2^{10}-2個$
$したがって \quad n=3\ \ のとき、最大の項と最小の項の差が \ 1\ である数列は$
$\quad 2 \times (2^{10}-2)=2044 \ \ 通り$
(2)
$最大の項と最小の項の差が \ n-1\ である数列は、項の最大が \ n,最小が \ 1\ の場合である。$
$順序対 \ \ (a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10})\ \ の集合を次のように定める。$
$集合 \ \ A=\{a_i\ |\ a_i= \ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-1\}$
$集合 \ \ B=\{a_i\ |\ a_i= \ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\}$
$U,\ A,\ B\ \ の包含関係は右図のとおりである。$
$集合 \ \ A \cap B \ \ は \ \ \{2,\ 3,\ \cdots,\ n-1\} $
$項の最大が \ n,最小が \ 1\ の順序対 \ \ (a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10})\ \ は \ U\ の要素で、$
$A\ の要素でもなく、B\ の要素でもないから \ \ \overline A \cap \overline B=\overline{A \cup B}\ \ の要素である。$
$すなわち \quad U \cap (\overline{A \cup B}) \ \ の要素であるからその個数は$
\begin{eqnarray*} & &n(U) -n(A \cup B)\\ \\ &=&n(U) -\big(n(A)+n(B)-n(A \cap B)\big)\\ \\ &=&n(U) -n(A)-n(B)+n(A \cap B)\\ \\ &=&n^{10}-(n-1)^{10}-(n-1)^{10}+(n-2)^{10}\\ \\ &=&n^{10}-2(n-1)^{10}+(n-2)^{10} \quad (通り)\\ \end{eqnarray*}
(3
$A_n=n^{10}-2(n-1)^{10}+(n-2)^{10} \quad において \ \ n^k \ \ の係数を \ B_k\ とおくと$
(i)$\ \ n^{10} \ \ の係数はあきらかに \ \ B_{10}=0$
(ii)$\ \ n^9 \ \ の係数 \ B_9\ は$
$\quad B_9=-2 \times {}_{10}C_1 \times (-1)+{}_{10}C_1 \times (-2)=20-20=0$
(iii)$\ \ n^8 \ \ の係数 \ B_8\ は$
$\quad B_8=-2 \times {}_{10}C_2 \times (-1)^2+{}_{10}C_2 \times (-2)^2= {}_{10}C_2 \times (-2+4)=\dfrac{10 \times 9}{2} \times 2=90$
$よって \quad n^k \ \ (k=7,\ 6,\ \cdots ,\ 0)\ \ の係数を \ B_k\ とおくと$
\begin{eqnarray*} & &\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{A_n}{n^8}\\ \\ &=&\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{B_8n^8+B_7n^7+ \cdots B_0}{n^8}\\ \\ &=&B_8\\ \\ &=&90 \end{eqnarray*}
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