信州大学(数学) 2025年　問題 3


$複素数 \ z_1,\ z_2,\ z_3 \ が \ \ |z_1|=|z_2|=|z_3|=1,\ \ z_1+z_2+z_3=0 \ \ を満たしているとする。このとき、$
$\dfrac{z_2}{z_1}\ \ のとりうる値をすべて求めよ。$


$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1 \quad だから \quad z_1=\cos \alpha +i\sin \alpha ,\ \ z_2=\cos \beta +i\sin \beta ,\ \ z_3=\cos \gamma +i\sin \gamma \quad とおける$

$このとき \quad z_1+z_2+z_3=0 \quad より$

$(\cos \alpha +i\sin \alpha)+(\cos \beta +i\sin \beta)+(\cos \gamma +i\sin \gamma)=0$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +i(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)=0$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =0 \hspace{8.5em}①\\ \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma=0\hspace{9em}②\\ \end{array} \right. \]
$①より \quad \cos \gamma = -(\cos \beta +\cos \alpha)$

$②より \quad \sin \gamma= -(\sin \beta + \sin \alpha )$

$\cos ^2\gamma + \sin ^2 \gamma=1 \quad だから$

$(\cos \beta +\cos \alpha)^2+(\sin \beta + \sin \alpha )^2=1$

$(\cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) + (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha )+2(\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha) =1$

$2+ 2(\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha) =1$

$\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha =-\dfrac{1}{2}$

$\cos (\beta - \alpha)=-\dfrac{1}{2}$

$\beta - \alpha =\pm \dfrac{2}{3}\pi +2k\pi \ \ (k\ は整数)$

$このとき$
\begin{eqnarray*} \dfrac{z_2}{z_1} &=&\dfrac{\cos \beta +i\sin \beta}{\cos \alpha +i\sin \alpha}\\ \\ &=&\cos (\beta - \alpha) +i\sin (\beta - \alpha)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2} +i \sin(\pm \dfrac{2}{3}\pi +2k\pi)\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2} \pm i \sin \dfrac{2}{3}\pi\\ \\ &=&-\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{eqnarray*}

ページの先頭へ↑



メインメニュー　に戻る