信州大学(数学科) 2023年 問題4
$次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ L\ を \ 2\ 以上の自然数とする。各辺の長さが自然数で、3\ 辺の長さの和が \ 4L\ である二等辺三角形の$
$\quad 個数 \ N(L)\ を求めよ。ただし、合同な三角形は同じとみなし、重複して数えない。$
$(2)\ \ (1)のような \ N(L)\ 個の二等辺三角形の面積の平均値を \ S(L)\ とする。このとき、$
\[\quad 極限 \quad \lim_{L \rightarrow \infty} \cfrac{S(L)}{L^2}\ \ を求めよ。\]
(1)
$二等辺三角形の等辺を \ a,他の辺を \ b\ とすると$
$\quad a > 0,\ \ b > 0 , \ \ 3\ 辺の長さの和が \ 4L\ より \quad 2a+b=4L$
$よって \quad b=4L-2a > 0 \quad より \quad 0 < a < 2L \hspace{3em}①$
$一般に、三角形において、2\ 辺の和は他の \ 1\ 辺より大だから$
$\quad 2a >b \quad よって \quad 2a > 4L-2a \quad より \quad a > L \hspace{3em}②$
$① \ \ ②より \quad L < a < 2L$
$a\ は自然数だから \quad a=L+1,\ L+2,\ \cdots , \ 2L-1$
$a\ の個数は \quad (2L-1)-(L+1)+1=L-1 \quad だから \quad N(L)=L-1$
(2)
$等辺が \ a,\ 他の辺が \ b\ の二等辺三角形の面積 \ T\ は、ヘロンの公式より$
$\quad (3\ 辺の和)/2 \ は \ \ s=\cfrac{2a+b}{2}=\cfrac{2a+(4L-2a)}{2}=2L \quad だから$
\begin{eqnarray*} T &=&\sqrt{s(s-a)^2(s-b)}\\ \\ &=&(2L-a)\sqrt{2L(2L-b)}\\ \\ &=&(2L-a)\sqrt{2L(2L-(4L-2a)}\\ \\ &=&2(2L-a)\sqrt{L(a-L)}\\ \end{eqnarray*}
\[面積の和=\sum_{a=L+1}^{2L-1} 2(2L-a)\sqrt{L(a-L)}=2\sqrt{L}\sum_{a=L+1}^{2L-1}(2L-a)\sqrt{a-L}\]
\[面積の平均値 \ \ S(L)=\cfrac{面積の和}{N(L)}=\cfrac{2\sqrt{L}}{L-1}\sum_{a=L+1}^{2L-1}(2L-a)\sqrt{a-L}\]
\[k=a-L \quad とおくと \qquad \begin{array}{c|c} a & L+1\ \ \rightarrow 2L-1 \quad \\ \hline k & 1 \rightarrow L-1 \\ \end{array} \]
$よって$
\begin{eqnarray*} S(L) &=&\cfrac{2\sqrt{L}}{L-1}\sum_{k=1}^{L-1}(L-k)\sqrt{k}\\ \\ &=&\cfrac{2\sqrt{L}}{L-1}\sum_{k=1}^{L}(L-k)\sqrt{k} \hspace{3em} (k=L \ としても和は同じ)\\ \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \cfrac{S(L)}{L^2} &=&\cfrac{2}{L-1}\sum_{k=1}^{L}(1-\cfrac{k}{L})\sqrt{\cfrac{k}{L}}\\ \\ &=&\cfrac{2L}{L-1} \times \cfrac{1}{L}\sum_{k=1}^{L}(1-\cfrac{k}{L})\sqrt{\cfrac{k}{L}}\\ \end{eqnarray*}
$区分求積法をつかって$
\begin{eqnarray*} \lim_{L \rightarrow \infty} \cfrac{S(L)}{L^2} &=&2\int_0^1(1-x)\sqrt{x}dx\\ \\ &=&2\int_0^1 (x^{\scriptsize{\cfrac{1}{2}}}-x^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}})dx\\ \\ &=&2\big[\cfrac{2}{3}x^{\scriptsize{\cfrac{3}{2}}}-\cfrac{2}{5}x^{\scriptsize{\cfrac{5}{2}}}\big]_0^1\\ \\ &=&2\big(\cfrac{2}{3}-\cfrac{2}{5}\big)\\ \\ &=&\cfrac{8}{15} \end{eqnarray*}
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