信州大学(数学科) 2023年　問題2


$a\ を実数とする。O\ を原点とする \ xy\ 平面上の点 \ P\ と点 \ Q\ に対して、条件$
$\hspace{5em} |\vec{OP}|+\vec{OP}\cdot \vec{OQ} +a=0 \qquad (*)$
$を考える。次の問いに答えよ。$
$(1)\ \ 点 \ Q\ の座標が \ (0,\ -1)\ で \ a=-2\ のとき、点 \ P\ が条件(*)を満たしながら動いてできる図形を$
$\quad \ xy\ 平面上に図示せよ。$
$(2)\ \ a > 0 \ とする。点 \ P\ と点 \ Q\ が条件(*)を満たしながら動くとき、点 \ Q\ の動く範囲を \ xy\ 平面上に$
$\quad 図示せよ。$


(1)


$点 \ P\ の座標を \ (x,\ y) \quad とおくと$

$|\vec{OP}|+\vec{OP}\cdot \vec{OQ} +a=0 \quad より$

$\sqrt{x^2+y^2}+ (x,\ y) \cdot (0,\ -1) -2=0$

　

$\sqrt{x^2+y^2} -y -2=0$

$\sqrt{x^2+y^2} =y +2$

$x^2+y^2 =(y +2)^2$

$x^2=4y+4$

$\therefore y=\cfrac{1}{4}x^2-1$

$よって、点 \ P\ が条件(*)を満たしながら動いてできる図形は右図のとおり$


(2)


$点 \ P,\ Q\ の座標をそれぞれ \ P(p,\ q),\ Q(x,\ y) \quad とおくと$

$|\vec{OP}|+\vec{OP}\cdot \vec{OQ} +a=0 \quad より$

$\vec{OP}=\vec{0} \ \ ならば \ \ a=0 \ \ となり \ \ a > 0\ \ に反するから \ \ \vec{OP} \ne \vec{0}$

$このとき$

$\sqrt{p^2+q^2}+px+qy+a=0$

$a=-(\sqrt{p^2+q^2}+px+qy) > 0 \quad だから$

$px+qy <-\sqrt{p^2+q^2} $

$\vec{OP} \ne \vec{0} \quad だから \quad p^2+q^2 \ne 0$

$\cfrac{p}{\sqrt{p^2+q^2}}x+\cfrac{q}{\sqrt{p^2+q^2}}y <-1$

$r=\cfrac{p}{\sqrt{p^2+q^2}},\quad s=\cfrac{q}{\sqrt{p^2+q^2}} \quad とおくと$

　

$rx+sy < -1 \quad すなわち \quad (-r)x + (-s)y >1$

$r^2+s^2=1 \quad だから、点 \ A(r,\ s)\ は原点中心、半径 \ 1\ の円 \ C\ の$

$周上にある。$

$このとき、点 \ B(-r,\ -s)\ は原点に関して点 \ A\ と対称な点である。$

$直線 \ \ (-r)x + (-s)y =1\ \ は点 \ B\ における円Cの接線であるから$

$不等式 \ \ (-r)x + (-s)y >1\ \ を満たす点 \ Q(x,\ y)\ \ は右図のとおり$

$この接線で分割される平面のうち円の中心を含まない部分である。$


$点 \ A(r,\ s)\ は円周上の任意の点であるから、点 \ B(-r,\ -s)\ も$

$この円周上の任意の点である。$

　

$点 \ B(-r,\ -s)\ を円周上で動かすと、それに伴ってこの点の接線が$

$動き円の中心を含まない領域が点 \ Q(x,\ y)の動く範囲となる。$

$したがって、点 \ Q(x,\ y)\ の動く範囲は、右図のように、原点中心$

$半径 \ 1\ の円の外側である。なお境界は含まない。$


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