信州大学(数学) 2022年　問題4


\[n\ を自然数とし、x\ に関する整式 \ P(x)=\sum_{k=1}^n kx^{k-1}\ \ を考える。ただしここで、x^0=1\ と定める。\] $(1)\ \ P(1)\ と \ P(2)\ を求めよ。$
$(2)\ \ P(x)\ を \ x^2-3x+2\ で割った余りを求めよ。$


$(解説)$

$(1)\ \ P(2)\ は \ 等差数列 \times 等比数列 \ \ の和の形をしています。$
$(2)\ \ 整式を \ 2\ 次式で割った余りは \ 1\ 次式となります。$


(1)


\[P(1)=\sum _{k=1}^n k=\cfrac{n(n+1)}{2}\] \[P(2)=\sum _{k=1}^n k\cdot 2^{k-1}\] $\qquad =1\cdot 2^0+2\cdot 2^1+3\cdot 2^2 + \cdots + n\cdot 2^{n-1}$

$両辺に2をかけて$

$2P(2)=1\cdot 2^1+2\cdot 2^2+ \cdots + (n-1)\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^n$

$辺々引くと$

$P(2)-2P(2)=2^0 + 2^1+ 2^2+ \cdots + 2^{n-1} - n\cdot 2^n$

$-P(2)=\cfrac{2^n-1}{2-1} - n\cdot 2^n$

$\therefore \ \ P(2)=n\cdot 2^n -(2^n-1)=(n-1)2^n+1$


(2)


$除法の原理より \ \ P(x)\ を \ 2\ 次式 \ \ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\ \ で割った余りは \ 1\ 次式だから、商を \ Q(x)\ とすると$

$P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b \quad とおける。$

$P(1)=a+b,\quad P(2)=2a+b \quad だから(1)より$

\[ \hspace{1em} \left\{ \begin{array}{l} a+b=\cfrac{n(n+1)}{2} \hspace{7em}①\\ 2a+b=(n-1)2^n+1 \hspace{5em}②\\ \end{array} \right. \]
$②-① \ \ より \quad a=(n-1)2^n+1-\cfrac{n(n+1)}{2}=(n-1)2^n -\cfrac{n(n+1)}{2}+1$

$①に代入して \quad b=\cfrac{n(n+1)}{2}-\big\{(n-1)2^n -\cfrac{n(n+1)}{2}+1\big\}=-(n-1)2^n +n(n+1) -1$

$よって余りは \quad \big((n-1)2^n -\cfrac{n(n+1)}{2}+1\big)x-(n-1)2^n +n(n+1) -1$


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