信州大学(数学) 2022年 問題2
$a\ を正の実数とする。2\ つの放物線 \ C_1:y=x^2 \ \ C_2:x=y^2+\cfrac{1}{4}a \ \ を考える。直線 \ l\ が \ C_1\ にも \ C_2\ にも$
$接するとき、直線 \ l\ は \ C_1\ と \ C_2\ の共通接線であるという。ただし、接点は異なっていてもよい。$
$(1)\ \ 実数 \ s,\ t\ に対し、直線 \ l:y=tx+s \ \ が \ C_1\ と \ C_2\ の共通接線であるとき、a\ を \ t\ のみを用いて表せ。$
$(2)\ \ 2\ つの放物線 \ C_1\ と \ C_2\ が、相異なる \ 3\ 本の共通接線を持つとき、a\ のとりうる値の範囲を求めよ。$
$(解説)$
$(1)\ \ 微分法で接線を求めるには接点の座標を指定しなくてはならないので、ここは2次関数だから判別式をとる$
$\quad 方が賢明です。$
$(2)\ \ 相異なる \ 3\ 本の共通接線を持つというのは、相異なる実数 \ t\ が \ 3\ 個存在するということです。$
(1)
(i)$\ \ C_1\ と \ l\ が接する条件は$
$\quad x^2=tx+s \qquad x^2-tx-s=0 \quad の判別式が$
$\quad D=t^2+4s=0 \qquad \therefore \ \ s=-\cfrac{t^2}{4} \hspace{3em}①$
(ii)$\ \ C_2\ と \ l\ が接する条件は$
$\quad x=(tx+s)^2+\cfrac{a}{4} \qquad t^2x^2+(2ts-1)x+s^2+\cfrac{a}{4}=0 \quad の判別式が$
$\quad D=(2ts-1)^2-4t^2(s^2+\cfrac{a}{4})=0 \qquad \therefore\ \ -4ts+1-at^2=0$
$\ \ ①を代入して \quad -4t \times \big(-\cfrac{t^2}{4}\big) +1-at^2=0$
$\quad t^3+1-at^2=0 \quad よって \quad a=\cfrac{t^3+1}{t^2}$
(2)
$(1)で求めた \quad a=\cfrac{t^3+1}{t^2} \quad において正の数 \ a\ に対して、相異なる \ 3\ 個の実数 \ t\ が存在すればよい。$
$f(t)=\cfrac{t^3+1}{t^2} \quad とおくと$
$f'(t)=\cfrac{3t^4-(t^3+1)\cdot 2t}{t^4}=\cfrac{t^3-2}{t^3}$
$f'(t)=0 \quad より \quad t=\sqrt[3]{2}$
\[y=f(t)\ の増減表は \qquad \begin{array}{c||c|c|c|c|c} t& \cdots & 0 & \cdots & \sqrt[3]{2} & \cdots \\ \hline f'(t)& + & / & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \nearrow & / & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array} \]
$t=\sqrt[3]{2} \ でf(t)\ は極小となり、極小値は \quad f(\sqrt[3]{2})=\cfrac{3}{\sqrt[3]{4}}=\cfrac{3\sqrt[3]{2}}{2}$
$y=f(t)\ と \ y=a \ のグラフは右図のとおりである。$
$a >\cfrac{3\sqrt[3]{2}}{2} \quad のとき曲線 \ y=\cfrac{t^3+1}{t^2} \ と \ y=a\ は異なる \ 3\ 点で交わるから$
$相異なる \ 3\ 個の実数 \ t\ が存在する。したがって、このとき$
$2\ つの放物線 \ C_1\ と \ C_2\ が、相異なる \ 3\ 本の共通接線を持つ。$
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