信州大学(数学) 2022年 問題1
$以下の問いに答えよ。$
\[(1)\ \ 定積分 \quad \int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}^{\scriptsize{\cfrac{2\pi}{3}}}\cfrac{1}{1+\cos x}dx \quad を求めよ。\]
\[(2)\ \ n\ を自然数とする。x \geqq 0 \ \ に対し、不等式 \quad \log(1+x) \geqq \sum_{k=1}^{2n} \cfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k \quad を示せ。\]
$(解説)$
$(1)\ \ R\ が有理関数のとき、R(\sin x,\ \cos x)\ の積分は \ \ \tan \cfrac{x}{2}=t\ \ と置くのが定石です。$
$(2)\ \ 紛らわしいのですが、(1)と(2)は関連があるかと悩んでしまいますが、全くの別問です。差をとって調べます。$
(1)
\[\tan \cfrac{x}{2}=t \quad とおくと \qquad \begin{array}{c|c} x & \small{\cfrac{\pi}{2}}\ \ \rightarrow \small{\cfrac{2\pi}{3}} \\ \hline t & \ 1 \rightarrow \sqrt{3} \\ \end{array} \]
$\qquad 1+\tan ^2\cfrac{x}{2}=\cfrac{1}{\cos ^2\cfrac{x}{2}} \quad だから \quad \cfrac{1}{\cos ^2\cfrac{x}{2}}=1+t^2$
$\qquad よって \quad \cfrac{1}{1+\cos x}=\cfrac{1}{1+(2\cos ^2\cfrac{x}{2}-1)}=\cfrac{1}{2\cos ^2\cfrac{x}{2}}=\cfrac{1+t^2}{2}$
$両辺を微分して \quad \cfrac{dx}{2\cos ^2\cfrac{x}{2}}=dt \qquad dx=2\cos ^2\cfrac{x}{2} dt=\cfrac{2}{1+t^2}dt$
$ゆえに$
\[\quad \int _{\scriptsize{\cfrac{\pi}{2}}}^{\scriptsize{\cfrac{2\pi}{3}}}\cfrac{1}{1+\cos x}dx = \int _1^{\sqrt{3}} \cfrac{1+t^2}{2} \times \cfrac{2}{1+t^2}dt= \int _1^{\sqrt{3}} dt=\sqrt{3}-1\]
(2)
\[f(x)=\log(1+x) - \sum_{k=1}^{2n} \cfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k \quad とおくと\] $f(x)=\log(1+x) -x+ \cfrac{x^2}{2}-\cfrac{x^3}{3}+\cdots -\cfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cfrac{x^{2n}}{2n}$
\begin{eqnarray*} f'(x) &=&\cfrac{1}{1+x}-1+x-x^2+ \cdots -x^{2n-2}+x^{2n-1}\\ \\ &=&\cfrac{1}{1+x}-(1-x+x^2- \cdots +x^{2n-2}-x^{2n-1})\\ \\ &=&\cfrac{1}{1+x}- \cfrac{1-(-x)^{2n}}{1+x}\\ \\ &=&\cfrac{(-x)^{2n}}{1+x}\\ \\ &=&\cfrac{x^{2n}}{1+x}\\ \end{eqnarray*}
$x \geqq 0 \quad より \quad f'(x) \geqq 0 \quad したがって \ \ f(x)\ は \ \ x \geqq 0\ \ で単調増加$
\[f(x) \geqq f(0)=0 \quad だから \quad \log(1+x) \geqq \sum_{k=1}^{2n} \cfrac{(-1)^{k-1}}{k}x^k \quad ただし等号は \ x=0 \ のとき\]
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